(a) d yd x=x+1raizx, y(1)=2.

Passo 1

O problema dá uma equação diferencial de primeira ordem dydx=x+1raizx com condição inicial y(1)=2. O conteúdo principal aqui é integrar uma função potência e depois aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Para encontrar y(x), reescrevemos a derivada como integral. Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x)=integral x+1raizx,dx + C
Precisamos usar a propriedade de soma e a regra de potência: primeiro note que
x+1raizx=xx^1/2+1x^1/2=x^1/2+x^-1/2
Agora aplicamos integral x^n,dx=x^n+1n+1 (para nneq -1). Assim,
y(x)=integral x^1/2,dx + integral x^-1/2,dx + C=x^3/23/2+x^1/21/2+C=23x^3/2+2x^1/2+C

Passo 3

Usamos agora a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1:
2=23cdot1^3/2+2cdot1^1/2+C=23+2+C=83+C
Da última linha tiramos C=2-tfrac83=-tfrac23.

Passo 4

Por fim, substituímos C na solução geral para obter a solução particular.

Resposta

y(x)=23x^3/2+2x^1/2-23

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