(f) integral0^pi t sen t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de 0 a π da função t·sen t. Esse é um problema de integração, mais especificamente vamos usar a técnica de integração por partes para lidar com o produto de duas funções.

Passo 2

A técnica de integração por partes se baseia na fórmula abaixo, que é útil quando temos o integrando escrito como produto de duas funções:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 3

Precisamos escolher quais partes serão u e dv. Vamos definir:
u = t, dv = sin t,dt
Dessa forma, derivando e integrando, obtemos:
du = dt, v = -cos t

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes aos limites de 0 a π:
integral0^pi tsin t,dt = l[u,vr]0^pi - integral0^pi v,du = l[-tcos tr]0^pi - integral0^pi (-cos t),dt

Passo 5

Por fim, avaliamos cada termo:
l[-tcos tr]0^pi = -picos(pi) - (0cdotcos0) = -pi(-1) - 0 = pi,
-integral0^pi(-cos t),dt = +integral0^picos t,dt = [sin t]0^pi = 0 - 0 = 0
Somando os resultados, a integral vale π.

Resposta

pi

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