e) integral cosec^2(2 theta) cdot cotg(2 theta) d theta,
i) use u=cotg(2 theta)

Passo 1

Primeiro, resumindo: a gente quer calcular integral csc^2(2theta),cot(2theta),dtheta. O conteúdo é integração por substituição usando a derivada da função cotangente.

Passo 2

Para aplicar substituição, define-se u=cot(2theta). Como a derivada de cot(x) é -csc^2(x), ao derivar u em relação a theta obtemos:
du = -2csc^2(2theta),dtheta
Isolando csc^2(2theta),dtheta dá:
csc^2(2theta),dtheta = -12,du

Passo 3

Agora substituímos na integral original, trocando cot(2theta) por u e csc^2(2theta),dtheta por -tfrac12,du. Assim:
integral csc^2(2theta)cot(2theta),dtheta = integral ucdotl(-tfrac12,dur) = -tfrac12integral u,du

Passo 4

Por fim, integramos em u e voltamos para theta. A integral de u é tfracu^22, então:
-tfrac12integral u,du = -tfrac12cdottfracu^22 = -tfracu^24
Voltando para theta (como u=cot(2theta)), concluímos que:
-14cot^2(2theta) + C

Resposta

(-\frac{1}{4}\cot^2(2\theta)+C)

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