1. d yd x=y(ln y-ln x+1)x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = yl(ln y - ln x + 1r)x
e pede a solução geral y(x). Vamos reconhecer que o termo ln y - ln x sugere a substituição
u = yx,
transformando a equação num problema de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito em função de y/x, temos
dydx = yxl(ln(y/x)+1r)
Isso nos deixa claro o padrão para usar u=y/x.

Passo 3

Definindo u = y/x implica y = x,u. Então
dydx = u + xdudx
Substituindo em dydx = yx(ln(y/x)+1), obtemos
u + xdudx = ul(ln u + 1r)
Isolando o termo com dudx, sobra
xdudx = uln u

Passo 4

Agora a equação é separável:
dudx = uln ux Longrightarrow duuln u = dxx
Integramos ambos os lados:
integral duuln u = integral dxx

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, façamos a troca t = ln u, portanto dt = du/u. Assim
integral duuln u = integral dtt = lnl|ln ur| + C1,
e o lado direito dá
integral dxx = ln|x| + C2
Combinando constantes ( C = C2 - C1), obtemos
lnl|ln ur| = ln|x| + C Longrightarrow l|ln ur| = e^C,|x| = A,x
Como A é constante arbitrária (pode absorver o sinal), tiramos o valor absoluto e escrevemos
ln u = A,x

Passo 6

Voltando a u, temos
u = e^A x
Como u=y/x, concluímos
yx = e^A x Longrightarrow y = x,e^A x,
onde A é a constante de integração.

Resposta

boxedy(x) = x,e^C x,
sendo C uma constante arbitrária.

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