1. d yd x+4 y-e^-x=0, y(0)=43

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de primeira ordem
dydx + 4y - e^-x = 0,
com a condição inicial y(0)=tfrac43.
Este é um caso de equação linear do tipo
dydx + P(x),y = Q(x),
onde P(x)=4 e Q(x)=e^-x. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, temos
dydx + 4y = e^-x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 4,dx = e^4x
Multiplicamos toda a equação por mu(x):

Passo 3

e^4xdydx + 4e^4xy = e^4xe^-x = e^3x
O lado esquerdo é a derivada de mu(x),y, isto é,
ddxl(e^4xyr) = e^3x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:

Passo 4

e^4xy = integral e^3x,dx = 13e^3x + C
Isolando y, obtemos
y = e^-4xl(tfrac13e^3x + Cr) = tfrac13e^-x + C,e^-4x
Aplicando a condição inicial y(0)=tfrac43
tfrac13 + C = tfrac43 Longrightarrow C = 1

Resposta

y(x) = tfrac13e^-x + e^-4x

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