Para quais valores de x as séries abaixo convergem?
sumn=1^infty x^n2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para quais valores de x a série
sumn=1^infty x^n2n+1
converge. O conteúdo é séries de potências, então vamos achar o raio de convergência pelo teste da raiz (ou razão) e depois verificar os pontos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Definimos an = tfrac12n+1. Pelo teste da raiz calculamos
limsupntoinfty |an|^1/n = limntoinfty (2n+1)^-1/n = 1
O raio de convergência é
R = 11 = 1

Passo 3

Daí concluímos que a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 4

No extremo x=1 a soma fica
sumn=1^infty 12n+1,
que diverge por comparação direta com a série harmônica sum 1/n.

Passo 5

No extremo x=-1 a soma é
sumn=1^infty (-1)^n2n+1,
que é uma série alternada cujos termos em módulo tfrac12n+1 decrescem a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Resposta

A série converge para -1 <= x < 1.

Exercícios relacionados