Para quais valores de
as séries abaixo convergem?
Passo 1
O enunciado pede para quais valores de
a série
converge. O conteúdo é séries de potências, então vamos achar o raio de convergência pelo teste da raiz (ou razão) e depois verificar os pontos extremos
e
.
Passo 2
Definimos
. Pelo teste da raiz calculamos
O raio de convergência é
Passo 3
Daí concluímos que a série converge absolutamente para
e diverge para
.
Passo 4
No extremo
a soma fica
que diverge por comparação direta com a série harmônica
.
Passo 5
No extremo
a soma é
que é uma série alternada cujos termos em módulo
decrescem a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente).
Resposta
A série converge para
.