d yd x+sen 2 x2(1+sen^2 x) y=1, y(0)=0
Garanta que sua aproximação esteja precisa até três casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
dydx+sin2x2l(1+sin^2xr),y=1, com condição inicial y(0)=0. Vamos usar o método do fator integrante para achar y(x).

Passo 2

Primeiro identificamos P(x)=sin2x2(1+sin^2x) e Q(x)=1. A fórmula do fator integrante é
$$\mu(x)=e^{\int P(x),dx},.
$$

Passo 3

Para calcular mu(x), note que
$$P(x)=\frac{\sin2x}{2(1+\sin^2x)}=\frac{\sin x\cos x}{1+\sin^2x},
$$ e fazendo P(x)=sin2x2(1+sin^2x)=sin xcos x1+sin^2x,, temos u=1+sin^2x. Logo
$$\int P(x),dx=\int\frac{\sin x\cos x}{1+\sin2x},dx=\frac12\ln\bigl(1+\sin2x\bigr)+C
$$ e
$$\mu(x)=\sqrt{1+\sin^2x},.
$$

Passo 4

A solução geral da EDO linear é
$$y(x),\mu(x)=\int\mu(x),Q(x),dx + C,
$$ ou seja
$$y(x)\sqrt{1+\sin2x}=\int\sqrt{1+\sin2x},dx + C.
$$

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=0: como raiz1+sin^2(0)=1, temos
$$0=\int_00\sqrt{1+\sin2t},dt + C\implies C=0.
0=integral0^0raiz1+sin^2t,dt + Cimplies C=0 çãíy(x)=\frac{1}{\sqrt{1+\sin2x}}\int_{0}{x}\sqrt{1+\sin^2t},dt.
$$
Como essa integral não tem primitiva elementar, ela deve ser avaliada numericamente (por exemplo, regra de Simpson) garantindo erro máximo de y(x)=1raiz1+sin^2xintegral0^xraiz1+sin^2t,dt .

Resposta

y(x)=dfrac1raiz1+sin^2xintegral0^xraiz1+sin^2t,dt, com a integral avaliada numericamente para três casas decimais de precisão.

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