d yd x=e^x^2 y^2, y(2)=1
A equação diferencial separa se dividirmos por y^2 e multiplicarmos por d x. Integramos a equação de separação de x=2 para x=x1 e encontramos
integralx=2^x=x1 e^x^2 d x & =integralx=2^x=x1 d yy^2 & =-1y|x=2 ^x=x1 & =-1y(x1)+1y(2)
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
dydx=e^x^2y^2 com condição inicial y(2)=1. O tema é verificar se dá para separar variáveis e integrar.

Passo 2

Para separar variáveis precisamos escrever a equação na forma f(y),dy=g(x),dx. Ou seja, o lado direito e^x^2y^2 teria de se fatorar em algo que dependa só de x vezes algo que dependa só de y.
Observe que e^x^2y^2=e^(xy)^2 não se decompõe em produto g(x)cdot h(y). O expoente junta as duas variáveis de forma inseparável, então não podemos passar tudo de um lado só.

Passo 3

Também podemos checar exatidão: escrevendo a EDO como $ -dx + e{-x{2}y^{2}},dy=0$, não satisfaz -dx + e^-x^2y^2,dy=0. E não há fator integrante óbvio que torne a equação exata.

Passo 4

Portanto não existe separação de variáveis nem solução elementar por métodos padrão, e a fórmula proposta no enunciado está incorreta.

Resposta

A equação não é separável e a solução apresentada não vale.

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