O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para calcular fluxos e áreas, sendo aplicável em problemas como modelagem de transporte de materiais ou análise de fluxos em processos produtivos.
Considere uma região R no plano xy, delimitada por uma curva fechada C, representando a seção transversal de um canal por onde circula um fluido utilizado em uma etapa de resfriamento de um processo produtivo. A curva C é parametrizada pela equação:
C:l x(t)=3 cos (t), y(t)=2 sin (t), t in[0,2 pi]
O campo vetorial que descreve a velocidade do fluido é dado por:
F(x, y)=(-y^2, x^2)
(b) Interprete fisicamente o resultado obtido no contexto da Engenharia de Produção, considerando o fluxo do fluido no sistema.
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) suave em uma região R com bordo C ,
ointC F cdot T d s=integral duplaR(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d A
onde T é o vetor tangente à curva C , e ds é o comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado pede pra usar o Teorema de Green na forma de circulação para calcular $\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf T,ds$ em uma curva fechada $C$ que é a fronteira de uma região elíptica $R$. A curva é dada por $x(t)=3\cos t,;y(t)=2\sin t$ para $t\in[0,2\pi]$ e o campo é $\mathbf F=(P,Q)=(-y2,x2)$. Vamos precisar de: (i) identificar $P$ e $Q$, (ii) calcular $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$, (iii) montar o duplo integral sobre $R$ e (iv) usar simetria da elipse para avaliar.

Passo 2

Identificamos $P(x,y)=-y^2$ e $Q(x,y)=x^2$. Pelo Teorema de Green na forma de circulação:
P(x,y)=-y^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=partial (x^2)partial x=2x, partial Ppartial y=partial(-y^2)partial y=-2y
Logo,
partial Qpartial x-partial Ppartial y=2x-(-2y)=2x+2y

Passo 4

O duplo integral fica:
ointC Fcdot T,ds=integral duplaR(2x+2y),dA=2integral duplaR x,dA+2integral duplaR y,dA
Sabendo que $R$ é a elipse centrada na origem (simétrica em torno dos eixos), temos $\iint_R x,dA=0$ e $\iint_R y,dA=0$.

Passo 5

Portanto o valor do integral de linha é zero:
ointC Fcdot T,ds=0

Passo 6

Fisicamente, esse resultado significa que não há circulação líquida do fluido ao longo da fronteira do canal. Em Engenharia de Produção, isso indica que o fluido não acumula giro ou vorticidade global na seção transversal: não há torque líquido nem vazão líquida atravessando a fronteira fechada, caracterizando um escoamento recirculante e balanceado.

Resposta

O valor da integral de linha é zero, o que indica que não há circulação líquida nem torque global do fluido na seção transversal do canal, caracterizando um escoamento recirculante e balanceado sem vazão líquida através da fronteira.

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