O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para calcular fluxos e áreas, sendo aplicável em problemas como modelagem de transporte de materiais ou análise de fluxos em processos produtivos.
Considere uma região
no plano xy, delimitada por uma curva fechada C, representando a seção transversal de um canal por onde circula um fluido utilizado em uma etapa de resfriamento de um processo produtivo. A curva
é parametrizada pela equação:
O campo vetorial que descreve a velocidade do fluido é dado por:
(b) Interprete fisicamente o resultado obtido no contexto da Engenharia de Produção, considerando o fluxo do fluido no sistema.
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial
suave em uma região R com bordo C ,
onde
é o vetor tangente à curva C , e ds é o comprimento de arco.
Considere uma região
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial
Passo 1
O enunciado pede pra usar o Teorema de Green na forma de circulação para calcular $\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf T,ds$ em uma curva fechada $C$ que é a fronteira de uma região elíptica $R$. A curva é dada por $x(t)=3\cos t,;y(t)=2\sin t$ para $t\in[0,2\pi]$ e o campo é $\mathbf F=(P,Q)=(-y2,x2)$. Vamos precisar de: (i) identificar $P$ e $Q$, (ii) calcular $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$, (iii) montar o duplo integral sobre $R$ e (iv) usar simetria da elipse para avaliar.
Passo 2
Identificamos $P(x,y)=-y^2$ e $Q(x,y)=x^2$. Pelo Teorema de Green na forma de circulação:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
O duplo integral fica:
Sabendo que $R$ é a elipse centrada na origem (simétrica em torno dos eixos), temos $\iint_R x,dA=0$ e $\iint_R y,dA=0$.
Passo 5
Portanto o valor do integral de linha é zero:
Passo 6
Fisicamente, esse resultado significa que não há circulação líquida do fluido ao longo da fronteira do canal. Em Engenharia de Produção, isso indica que o fluido não acumula giro ou vorticidade global na seção transversal: não há torque líquido nem vazão líquida atravessando a fronteira fechada, caracterizando um escoamento recirculante e balanceado.
Resposta
O valor da integral de linha é zero, o que indica que não há circulação líquida nem torque global do fluido na seção transversal do canal, caracterizando um escoamento recirculante e balanceado sem vazão líquida através da fronteira.