O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para calcular fluxos e áreas, sendo aplicável em problemas como modelagem de transporte de materiais ou análise de fluxos em processos produtivos.
Considere uma região
no plano xy, delimitada por uma curva fechada C, representando a seção transversal de um canal por onde circula um fluido utilizado em uma etapa de resfriamento de um processo produtivo. A curva
é parametrizada pela equação:
O campo vetorial que descreve a velocidade do fluido é dado por:
(a) Use o Teorema de Green para calcular o fluxo do fluido através da curva C.
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial
suave em uma região R com bordo C ,
onde
é o vetor tangente à curva C , e ds é o comprimento de arco.
Considere uma região
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Green, que é super útil para calcular fluxos e áreas em problemas como o transporte de materiais ou análise de fluxos em processos produtivos. No problema, temos uma região $ R $ delimitada por uma curva fechada $ C $, que representa a seção transversal de um canal por onde circula um fluido. A curva $ C $ é dada pelas equações paramétricas:
E o campo vetorial que descreve a velocidade do fluido é:
Nosso objetivo é calcular o fluxo do fluido através da curva $ C $ usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e fazer algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Ele relaciona uma integral de linha ao redor da curva $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ R $ que $ C $ delimita. A fórmula do teorema é:
Aqui, $ \mathbf{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) $, $ \mathbf{T} $ é o vetor tangente à curva $ C $, e $ ds $ é o comprimento de arco.
No nosso caso, $ \mathbf{F}(x, y) = (-y^{2}, x^{2}) $, então $ P(x, y) = -y^{2} $ e $ Q(x, y) = x^{2} $. Nosso objetivo é calcular a integral do fluxo usando essa fórmula.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na integral dupla do Teorema de Green:
Então, a diferença entre essas derivadas é:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região $ R $. A curva $ C $ é uma elipse dada pelas equações paramétricas:
Essa é uma elipse centrada na origem com semi-eixos de comprimento 3 na direção x e 2 na direção y. Podemos usar coordenadas elípticas ou transformar para coordenadas polares para facilitar a integração. Aqui, vamos optar por coordenadas polares esticadas.
Vamos fazer a substituição:
onde $ r $ varia de 0 a 1 para cobrir toda a elipse.
O elemento de área em coordenadas elípticas é dado por:
onde $ |J| $ é o determinante jacobiano da transformação. Calculando:
Então, $ dA = 6r , dr , d\theta $.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla usando o que calculamos:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
Então, a integral se torna:
Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
Portanto, a integral dupla resulta em 0.
Resposta
O fluxo do fluido através da curva $ C $ é 0.