O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para calcular fluxos e áreas, sendo aplicável em problemas como modelagem de transporte de materiais ou análise de fluxos em processos produtivos.
Considere uma região R no plano xy, delimitada por uma curva fechada C, representando a seção transversal de um canal por onde circula um fluido utilizado em uma etapa de resfriamento de um processo produtivo. A curva C é parametrizada pela equação:
C:l x(t)=3 cos (t), y(t)=2 sin (t), t in[0,2 pi]
O campo vetorial que descreve a velocidade do fluido é dado por:
F(x, y)=(-y^2, x^2)
(a) Use o Teorema de Green para calcular o fluxo do fluido através da curva C.
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) suave em uma região R com bordo C ,
ointC F cdot T d s=integral duplaR(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d A
onde T é o vetor tangente à curva C , e ds é o comprimento de arco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Green, que é super útil para calcular fluxos e áreas em problemas como o transporte de materiais ou análise de fluxos em processos produtivos. No problema, temos uma região $ R $ delimitada por uma curva fechada $ C $, que representa a seção transversal de um canal por onde circula um fluido. A curva $ C $ é dada pelas equações paramétricas:
R
E o campo vetorial que descreve a velocidade do fluido é:
C
Nosso objetivo é calcular o fluxo do fluido através da curva $ C $ usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e fazer algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Ele relaciona uma integral de linha ao redor da curva $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ R $ que $ C $ delimita. A fórmula do teorema é:
C
Aqui, $ \mathbf{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) $, $ \mathbf{T} $ é o vetor tangente à curva $ C $, e $ ds $ é o comprimento de arco.
No nosso caso, $ \mathbf{F}(x, y) = (-y^{2}, x^{2}) $, então $ P(x, y) = -y^{2} $ e $ Q(x, y) = x^{2} $. Nosso objetivo é calcular a integral do fluxo usando essa fórmula.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na integral dupla do Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y(-y^2) = -2y
Então, a diferença entre essas derivadas é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - (-2y) = 2x + 2y

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região $ R $. A curva $ C $ é uma elipse dada pelas equações paramétricas:
R
Essa é uma elipse centrada na origem com semi-eixos de comprimento 3 na direção x e 2 na direção y. Podemos usar coordenadas elípticas ou transformar para coordenadas polares para facilitar a integração. Aqui, vamos optar por coordenadas polares esticadas.
Vamos fazer a substituição:
C
onde $ r $ varia de 0 a 1 para cobrir toda a elipse.
O elemento de área em coordenadas elípticas é dado por:
x(t) = 3 cos(t), y(t) = 2 sin(t), t in [0, 2pi]
onde $ |J| $ é o determinante jacobiano da transformação. Calculando:
x = 3r cos(theta), y = 2r sin(theta)
Então, $ dA = 6r , dr , d\theta $.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla usando o que calculamos:
integral duplaR (2x + 2y) , dA = integral0^2pi integral0^1 (2(3r cos(theta)) + 2(2r sin(theta))) cdot 6r , dr , dtheta
Simplificando dentro da integral:
2(3r cos(theta)) + 2(2r sin(theta)) = 6r cos(theta) + 4r sin(theta)
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 (6r cos(theta) + 4r sin(theta)) cdot 6r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 (36r^2 cos(theta) + 24r^2 sin(theta)) , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
r
integral0^1 36r^2 cos(theta) , dr = 36 cos(theta) cdot [r^33]0^1 = 36 cos(theta) cdot 13 = 12 cos(theta)
Então, a integral se torna:
integral0^1 24r^2 sin(theta) , dr = 24 sin(theta) cdot [r^33]0^1 = 24 sin(theta) cdot 13 = 8 sin(theta)
Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
integral0^2pi (12 cos(theta) + 8 sin(theta)) , dtheta
theta
Portanto, a integral dupla resulta em 0.

Resposta

O fluxo do fluido através da curva $ C $ é 0.

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