1. d yd x+y=f(x), y(0)=1, where
f(x)=lr 1, & 0 <= x <= 1 -1, & x>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
O método será o fator integrante é constante, impondo continuidade de em .

Passo 2

No intervalo 0<= x<=1 temos f(x)=1. Multiplicando por e^x obtém-se
l(y,e^xr)'=e^xcdot1=e^x
Integrando de 0 a x:
y(x)e^x-y(0)e^0=integral0^xe^s,ds=e^x-1
Como y(0)=1, segue
y(x)e^x-1=e^x-1 Longrightarrow y(x)=1, 0<= x<=1

Passo 3

Para x>1 temos f(x)=-1. De novo,
l(y,e^xr)'=e^xcdot(-1)=-e^x
Integrando de 1 a x:
y(x)e^x-y(1)e^1 =integral1^x-e^s,ds =-(e^x-e^1)=e^1-e^x
Sabendo que y(1)=1, obtemos
y(x)e^x-e =e-e^x Longrightarrow y(x)e^x=2e-e^x Longrightarrow y(x)=2e^1-x-1, x>1

Resposta

y(x)= 1, & 0<= x<=1, 2e^,1-x-1, & x>1

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