Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=lang<= 2 x y^3 z^2, 3 x^2 y^2 z^2, 2 x^2 y^3 zrang<=

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=lang<= P,Q,Rrang<= com
P(x,y,z)=2x y^3z^2, Q(x,y,z)=3x^2y^2z^2, R(x,y,z)=2x^2y^3z
O objetivo é verificar se F é conservativo, ou seja, se existe uma função escalar f(x,y,z) tal que nabla f=F. Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas (curl nulo em domínio simplesmente conexo) e, em seguida, integrar para encontrar f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o curl:
partial Ppartial y =partialpartial yl(2x y^3z^2r) =6x y^2z^2, partial Qpartial x =partialpartial xl(3x^2y^2z^2r) =6x y^2z^2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, essa componente do curl é zero.

Passo 3

Continuando,
partial Ppartial z =partialpartial zl(2x y^3z^2r) =4x y^3z, partial Rpartial x =partialpartial xl(2x^2y^3zr) =4x y^3z,
logo partial P/partial z=partial R/partial x e essa componente do curl também é zero.

Passo 4

Por fim,
partial Qpartial z =partialpartial zl(3x^2y^2z^2r) =6x^2y^2z, partial Rpartial y =partialpartial yl(2x^2y^3zr) =6x^2y^2z,
então partial Q/partial z=partial R/partial y. Como todas as componentes do curl são nulas e o domínio de F é simplesmente conexo ( R^3), concluímos que F é conservativo.

Passo 5

Para encontrar a função potencial f, integramos P em relação a x:
f(x,y,z)=integral 2x y^3z^2,dx =x^2y^3z^2+C(y,z)
Agora impomos partial f/partial y=Q:
partial fpartial y =3x^2y^2z^2+partial Cpartial y stackrel!=3x^2y^2z^2 ;Longrightarrow; partial Cpartial y=0 ;Longrightarrow; C=C(z)

Passo 6

Finalmente, impomos partial f/partial z=R:
partial fpartial z =2x^2y^3z+dCdz stackrel!=2x^2y^3z ;Longrightarrow; dCdz=0 ;Longrightarrow; C=constante
Portanto, podemos tomar a constante igual a zero (ou qualquer valor fixo).

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=x^2y^3z^2 + C,
onde C é constante.

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