Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
O objetivo é verificar se
é conservativo, ou seja, se existe uma função escalar
tal que
. Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas (curl nulo em domínio simplesmente conexo) e, em seguida, integrar para encontrar
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais necessárias para o curl:
Como
, essa componente do curl é zero.
Passo 3
Continuando,
logo
e essa componente do curl também é zero.
Passo 4
Por fim,
então
. Como todas as componentes do curl são nulas e o domínio de
é simplesmente conexo (
), concluímos que
é conservativo.
Passo 5
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Agora impomos
:
Passo 6
Finalmente, impomos
:
Portanto, podemos tomar a constante igual a zero (ou qualquer valor fixo).
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é
onde
é constante.