2- Dada f(x)=lx^2+3 3 x+1 se x>=1 e se x<1, calcular:
a) lim x 1^- f(x)
b) lim x 1+ f(x)
c) Existe lim x 1 f(x)
d) f(x) é continua em x=1

Passo 1

O enunciado define a função f(x) por partes: para x<1 temos f(x)=3x+1 e para x>=1 temos f(x)=x^2+3. O objetivo é calcular os limites laterais em x=1, verificar se o limite existe e checar continuidade em x=1.

Passo 2

Para calcular limxto1^-f(x) usamos o ramo de x<1, ou seja, f(x)=3x+1.
limxto1^-f(x)=limxto1^-(3x+1)=3cdot1+1=4

Passo 3

Para calcular limxto1^+f(x) usamos o ramo de x>=1, que é f(x)=x^2+3.
limxto1^+f(x)=limxto1^+(x^2+3)=1^2+3=4

Passo 4

Como limxto1^-f(x)=4 e limxto1^+f(x)=4, o limite limxto1f(x) existe e vale 4.

Passo 5

Para verificar continuidade em x=1, calculamos f(1). Como 1>=1, temos
f(1)=1^2+3=4
Como f(1)=4 coincide com limxto1f(x), concluímos que f é contínua em x=1.

Resposta

a) limxto1^-f(x)=4\n
b) limxto1^+f(x)=4\n
c) limxto1f(x)=4, logo existe\n
d) f é contínua em x=1

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