Determine o valor de k sabendo que -13 é raiz do polinômio P(x)=9 x^4-3 x^3-(k+1) x^2+(2 k- 3) x+6

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=9x^4-3x^3-(k+1)x^2+(2k-3)x+6
e informa que -tfrac13 é raiz. Isso significa, pelo Teorema do Resto, que
Pl(-tfrac13r)=0

Passo 2

Vamos substituir x=-tfrac13 em P(x):
9l(-tfrac13r)^4 -3l(-tfrac13r)^3 -(k+1)l(-tfrac13r)^2 +(2k-3)l(-tfrac13r) +6 =0
Calculando cada termo:
9cdottfrac181=tfrac19, -3cdotl(-tfrac127r)=tfrac19, -(k+1)cdottfrac19=-tfrack+19, (2k-3)cdotl(-tfrac13r)=-tfrac2k-33
Logo a equação vira
tfrac19+tfrac19-tfrack+19-tfrac2k-33+6=0

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por 9 para eliminar denominadores:
2-(k+1)-3(2k-3)+54=0
Distribuindo e somando termos semelhantes:
2-k-1-6k+9+54=0 Longrightarrow 64-7k=0 Longrightarrow k=tfrac647

Resposta

k=tfrac647

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