Forneça a função y=y(x), x in R, tal que:
d^2 yd x^2=2 x-3, y^prime(1)=0 e y(0)=5.

Passo 1

O enunciado pede a função y=y(x) definida em R que satisfaz
d^2ydx^2 = 2x - 3,
com as condições y'(1)=0 e y(0)=5. Esse é um problema de equação diferencial ordinária de segunda ordem cuja solução obtemos integrando duas vezes e ajustando constantes.

Passo 2

Integramos a segunda derivada para obter a primeira derivada. Como
d^2ydx^2 = 2x - 3,
então
y' = integral (2x - 3),dx = x^2 - 3x + C1,
onde C1 é uma constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição y'(1)=0 para determinar C1. Substituindo x=1 em y':
0 = y'(1) = 1^2 - 3cdot1 + C1 = 1 - 3 + C1 implies C1 = 2

Passo 4

Agora integramos y'=x^2 - 3x + 2 para obter y(x). Temos
y(x) = integral (x^2 - 3x + 2),dx = x^33 - 3x^22 + 2x + C2,
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a condição y(0)=5. Ao avaliar em x=0:
y(0) = 0^33 - 3cdot0^22 + 2cdot0 + C2 = C2 = 5

Resposta

A função que satisfaz todas as condições é
y(x) = x^33 - 3x^22 + 2x + 5

Exercícios relacionados