No ponto P=(1,-2), o vetor gradiente da funçäo
h(x, y)=x^2+y^2-4 x+6 y
é PARALELO ao vetor:
a) 0
b) (-1,1)
c) (0,8)
d) (2,1)
(1,-2)
f) (-1,5)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre a função e quer saber qual dos vetores listados é paralelo ao vetor gradiente dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o vetor gradiente e como calculá-lo, além de saber o que significa dois vetores serem paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função nabla h(x, y) = ( partial hpartial x, partial hpartial y ) . O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação da função, e é dado pelas derivadas parciais em relação a e . Então, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial hpartial x = 2x - 4 em relação a partial hpartial y = 2y + 6 :
nabla h(x, y) = (2x - 4, 2y + 6)
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então, o vetor gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla h(1, -2) = (2(1) - 4, 2(-2) + 6) = (2 - 4, -4 + 6) = (-2, 2) :
Então, o vetor gradiente no ponto é .

Passo 5

Queremos saber qual dos vetores fornecidos é paralelo a . Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Vamos verificar cada opção:
a)
Esse vetor é o vetor nulo, que é paralelo a qualquer vetor, mas geralmente não é a resposta esperada em questões desse tipo.
b)
Vamos ver se é múltiplo de . Se multiplicarmos por 2, temos . Então, sim, são paralelos.
c)
Não há um número que multiplique para chegar em .
d)
Não há um número que multiplique para chegar em .
e)
Não há um número que multiplique para chegar em .
f)
Não há um número que multiplique para chegar em .

Resposta

A resposta correta é a alternativa b) .

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