Determine a solução das Equações Diferenciais: Resolva o PVI l(x^2+y) d x+(x-2 y) d y=0 y(1)=2

Passo 1

A questão pede para resolver o PVI:
Temos a EDO
(x^2+y),dx + (x-2y),dy = 0,
com condição inicial y(1)=2. O conteúdo é EDO exata e vamos usar teoria de diferenciais exatas para resolvê-la.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=x^2+y e N(x,y)=x-2y. Calculamos:
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M(x,y)=x^2+y
Integrando em relação a x:
psi(x,y)=integral(x^2+y),dx=x^33+xy+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial psipartial y=x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=x-2y. Assim
x + h'(y)=x-2y Rightarrow h'(y)=-2y Rightarrow h(y)=-y^2
Logo a potencial é
psi(x,y)=x^33+xy - y^2

Passo 5

A solução geral implícita vem de psi(x,y)=C. Logo
x^33+xy - y^2=C
Impondo y(1)=2:
1^33+1cdot2 - 2^2=13+2-4=-53,
logo C=-tfrac53.

Passo 6

Portanto a solução do PVI, em forma implícita, é:

Passo 7

x^33+xy - y^2=-53

Resposta

x^33+xy - y^2=-53

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