(a) Dada a amostra x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, com média \bar{x} e desvio-padrão s. Considere a variável z, cujos valores são definidos por,
z_{i}=\frac{x_{i}-\bar{x}}{s}, i=1,2, \ldots, n
Qual o valor da média da variável z ?
(b) Calcule a média e a variância dos dados A , abaixo, explicitando os cálculos realizados. Use duas casas decimais.
Dados A 9,14 8,14 8,74 8,77 9,26 8,10 6,13 3,1 9,13 7,26 4,74
Dados B 6,58 5,76 7,71 8,84 8,47 7,04 5,25 5,56 7,91 6,89 12,5
Considere,
\bar{x}_{B}=7,50, \quad \operatorname{Var}\left(x_{B}\right)=4,12
A média e a variância resumem e diferenciam os dois conjuntos de dados? Explique!
(c) Sugerir outra medida estatística que pode ser utilizada para resumir e diferenciar o conjunto de dados A do conjunto de dados B . Calcule o valor da medida estatística sugerida.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Determinar a média da variável \,z\, definida por \,z_i=\dfrac{x_i-\bar{x}}{s}\,.
  • (b) Calcular a média e a variância dos dados A, mostrando os cálculos e usando duas casas decimais; e comentar se a média e a variância resumem e diferenciam os conjuntos A e B.
  • (c) Sugerir outra medida estatística que resuma/diferencie A e B e calcular seu valor.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Conjunto A: \;9,14,\;8,14,\;8,74,\;8,77,\;9,26,\;8,10,\;6,13,\;3,10,\;9,13,\;7,26,\;4,74.
  • Conjunto B: \;6,58,\;5,76,\;7,71,\;8,84,\;8,47,\;7,04,\;5,25,\;5,56,\;7,91,\;6,89,\;12,5.
  • Informações fornecidas sobre B: \bar{x}_{B}=7,50,\; \operatorname{Var}(x_{B})=4,12.
Vou resolver (a), (b) e (c) passo a passo, mostrando fórmulas, significado das variáveis e as contas explícitas.

Passo 2

Parte (a). Objetivo: achar a média da variável \,z\, definida por \;z_i=\dfrac{x_i-\bar{x}}{s},\;i=1,\dots,n.
Primeiro, recapitular o que é média: para uma amostra x_1,\dots,x_n a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde \bar{x} é um número que representa o “centro” dos dados.
Agora, a média de \,z é
\bar{z}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} z_i.
Substituindo a definição de z_i:
\bar{z}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i-\bar{x}}{s}.
Como s é constante (desvio-padrão da amostra), podemos colocá-lo fora da soma:
\bar{z}=\frac{1}{ns}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr).
A soma \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x}) simplifica porque
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^{n}x_i -\sum_{i=1}^{n}\bar{x} =\sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar{x}.
Mas por definição de \bar{x} temos \sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x}, então
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0.
Portanto
\bar{z}=\frac{1}{ns}\cdot 0 = 0.
Interpretação didática e intuitiva: a padronização z_i=(x_i-\bar{x})/s desloca os dados para terem média zero (subtrai \bar{x}) e ajusta a escala para unidades de desvios-padrão (divide por s). Assim a média dos z-scores sempre será zero (desde que s\neq 0).

Passo 3

Parte (b) — cálculo da média do conjunto A.
Fórmula da média amostral (relembrando):
\bar{x}_A=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações. Para A temos n=11.
Somando explicitamente os valores de A (peguei estes números do enunciado):
\sum_{i=1}^{11} x_i =9,14+8,14+8,74+8,77+9,26+8,10+6,13+3,10+9,13+7,26+4,74.
Calculei passo a passo:
\sum_{i=1}^{11} x_i = 82,51.
Logo
\bar{x}_A=\frac{82,51}{11}=7,500909\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
\bar{x}_A \approx 7,50.
Explicação curta: a média 7,50 é o valor central médio; note que coincide (ao arredondar) com a média dada para B.

Passo 4

Parte (b) — cálculo da variância do conjunto A.
Qual fórmula usar? Aqui usamos a variância amostral (aquela normalmente usada para descrever a dispersão amostral):
s_A^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}_A\bigr)^{2},
onde n=11 e \bar{x}_A é a média calculada no passo anterior. Explico as variáveis:
  • \,x_i é cada observação;
  • \,\bar{x}_A é a média amostral;
  • \,s_A^{2} é a variância amostral (média dos quadrados das distâncias à média, corrigida por n-1).
Para facilitar as contas, uso a forma equivalente:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}-n\bar{x}^{2}.
Primeiro calculei os quadrados x_i^{2} e somei (peguei cada x_i do enunciado):
\sum_{i=1}^{11} x_i^{2}=660,1763.
\bar{x}_A=\dfrac{82,51}{11}, então
n\bar{x}_A^{2}=\frac{(82,51)^{2}}{11}=619,8091\ldots
Assim o numerador da variância é
\sum_{i=1}^{11}\bigl(x_i-\bar{x}_A\bigr)^{2}=660,1763-619,8091=40,3672.
Agora divide-se por n-1=10:
s_A^{2}=\frac{40,3672}{10}=4,03672.
Arredondando para duas casas decimais:
s_A^{2}\approx 4,04.
Para referência, o desvio-padrão amostral é \,s_A=\sqrt{s_A^{2}}\approx 2,01.

Passo 5

Parte (b) — interpretação: a média e a variância resumem e diferenciam A e B ?
O papel da média e da variância:
  • A média resume a tendência central (onde os dados “ficam” em média).
  • A variância (ou desvio-padrão) resume a dispersão (quão espalhados estão os dados).
Comparando os conjuntos (usando os valores calculados e os fornecidos para B):
  • \bar{x}_A \approx 7,50 e \bar{x}_B=7,50 (iguais ao arredondar).
  • s_A^{2}\approx 4,04 e \operatorname{Var}(x_B)=4,12 (muito próximos).
Conclusão: média e variância resumem bem centro e dispersão, mas, neste caso, NÃO diferenciam claramente A e B, porque ambos têm médias praticamente iguais e variâncias muito parecidas. Para distinguir os conjuntos é preciso olhar também para outras características (assimetria, presença de outliers, mediana, amplitude, IQR etc.). Por exemplo, em A há um valor baixo \,3,10\, enquanto em B há um valor alto \,12,5\,; essas diferenças na forma da distribuição não aparecem apenas olhando a média e a variância.

Passo 6

Parte (c) — sugerir outra medida e calculá-la.
Sugestão didática: usar a mediana. Por que a mediana?
  • A mediana é o valor que divide os dados ordenados ao meio; é uma medida de tendência central robusta a outliers.
  • Quando médias são iguais, a mediana pode mostrar diferenças na posição dos dados sem ser influenciada por valores extremos.
Cálculo da mediana (número de observações n=11, portanto a mediana é o 6^\text{o} menor valor após ordenar porque a mediana é a observação na posição (n+1)/2).
Ordenando A (peguei os valores do enunciado):
3,10,\;4,74,\;6,13,\;7,26,\;8,10,\;8,14,\;8,74,\;8,77,\;9,13,\;9,14,\;9,26.
A mediana de A é o sexto valor:
\text{Mediana}_A=8,14.
Ordenando B (peguei os valores do enunciado):
5,25,\;5,56,\;5,76,\;6,58,\;6,89,\;7,04,\;7,71,\;7,91,\;8,47,\;8,84,\;12,5.
A mediana de B é o sexto valor:
\text{Mediana}_B=7,04.
Interpretação: as medianas mostram que, apesar das médias serem iguais, os dados de A tendem a ficar mais altos no centro da distribuição ( 8,14) do que os de B ( 7,04). Assim a mediana diferencia melhor estes conjuntos neste caso.

Resposta

(a) \bar{z}=0
(b) \bar{x}_A=7,50
\operatorname{Var}(x_A)=4,04
Não: as médias são praticamente iguais ( 7,50) e as variâncias são muito próximas ( 4,04 vs 4,12), portanto média e variância por si só não distinguem bem A e B.
(c) Mediana — \text{Mediana}_A=8,14 e \text{Mediana}_B=7,04

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