(a) Dada a amostra
, com média
e desvio-padrão
. Considere a variável
, cujos valores são definidos por,
Qual o valor da média da variável
?
(b) Calcule a média e a variância dos dados A , abaixo, explicitando os cálculos realizados. Use duas casas decimais.
Dados A
9,14
8,14
8,74
8,77
9,26
8,10
6,13
3,1
9,13
7,26
4,74
Dados B
6,58
5,76
7,71
8,84
8,47
7,04
5,25
5,56
7,91
6,89
12,5
Considere,
A média e a variância resumem e diferenciam os dois conjuntos de dados? Explique!
(c) Sugerir outra medida estatística que pode ser utilizada para resumir e diferenciar o conjunto de dados A do conjunto de dados B . Calcule o valor da medida estatística sugerida.
(b) Calcule a média e a variância dos dados A , abaixo, explicitando os cálculos realizados. Use duas casas decimais.
| Dados A | 9,14 | 8,14 | 8,74 | 8,77 | 9,26 | 8,10 | 6,13 | 3,1 | 9,13 | 7,26 | 4,74 |
| Dados B | 6,58 | 5,76 | 7,71 | 8,84 | 8,47 | 7,04 | 5,25 | 5,56 | 7,91 | 6,89 | 12,5 |
(c) Sugerir outra medida estatística que pode ser utilizada para resumir e diferenciar o conjunto de dados A do conjunto de dados B . Calcule o valor da medida estatística sugerida.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar a média da variável
definida por . - (b) Calcular a média e a variância dos dados
, mostrando os cálculos e usando duas casas decimais; e comentar se a média e a variância resumem e diferenciam os conjuntos e . - (c) Sugerir outra medida estatística que resuma/diferencie
e e calcular seu valor.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Conjunto
: - Conjunto
: - Informações fornecidas sobre
:
Vou resolver (a), (b) e (c) passo a passo, mostrando fórmulas, significado das variáveis e as contas explícitas.
Passo 2
Parte (a). Objetivo: achar a média da variável
definida por
Primeiro, recapitular o que é média: para uma amostra
a média amostral é
onde
é um número que representa o “centro” dos dados.
Agora, a média de
é
Substituindo a definição de
:
Como
é constante (desvio-padrão da amostra), podemos colocá-lo fora da soma:
A soma
simplifica porque
Mas por definição de
temos
, então
Portanto
Interpretação didática e intuitiva: a padronização
desloca os dados para terem média zero (subtrai
) e ajusta a escala para unidades de desvios-padrão (divide por
). Assim a média dos
-scores sempre será zero (desde que
).
Passo 3
Parte (b) — cálculo da média do conjunto
.
Fórmula da média amostral (relembrando):
onde
é o número de observações. Para
temos
.
Somando explicitamente os valores de
(peguei estes números do enunciado):
Calculei passo a passo:
Logo
Arredondando para duas casas decimais:
Explicação curta: a média
é o valor central médio; note que coincide (ao arredondar) com a média dada para
.
Passo 4
Parte (b) — cálculo da variância do conjunto
.
Qual fórmula usar? Aqui usamos a variância amostral (aquela normalmente usada para descrever a dispersão amostral):
onde
e
é a média calculada no passo anterior. Explico as variáveis:
-
é cada observação; -
é a média amostral; -
é a variância amostral (média dos quadrados das distâncias à média, corrigida por ).
Para facilitar as contas, uso a forma equivalente:
Primeiro calculei os quadrados
e somei (peguei cada
do enunciado):
Já
, então
Assim o numerador da variância é
Agora divide-se por
:
Arredondando para duas casas decimais:
Para referência, o desvio-padrão amostral é
Passo 5
Parte (b) — interpretação: a média e a variância resumem e diferenciam
e
?
O papel da média e da variância:
- A média resume a tendência central (onde os dados “ficam” em média).
- A variância (ou desvio-padrão) resume a dispersão (quão espalhados estão os dados).
Comparando os conjuntos (usando os valores calculados e os fornecidos para
):
-
e (iguais ao arredondar). -
e (muito próximos).
Conclusão: média e variância resumem bem centro e dispersão, mas, neste caso, NÃO diferenciam claramente
e
, porque ambos têm médias praticamente iguais e variâncias muito parecidas. Para distinguir os conjuntos é preciso olhar também para outras características (assimetria, presença de outliers, mediana, amplitude, IQR etc.). Por exemplo, em
há um valor baixo
enquanto em
há um valor alto
; essas diferenças na forma da distribuição não aparecem apenas olhando a média e a variância.
Passo 6
Parte (c) — sugerir outra medida e calculá-la.
Sugestão didática: usar a mediana. Por que a mediana?
- A mediana é o valor que divide os dados ordenados ao meio; é uma medida de tendência central robusta a outliers.
- Quando médias são iguais, a mediana pode mostrar diferenças na posição dos dados sem ser influenciada por valores extremos.
Cálculo da mediana (número de observações
, portanto a mediana é o
menor valor após ordenar porque a mediana é a observação na posição
).
Ordenando
(peguei os valores do enunciado):
A mediana de
é o sexto valor:
Ordenando
(peguei os valores do enunciado):
A mediana de
é o sexto valor:
Interpretação: as medianas mostram que, apesar das médias serem iguais, os dados de
tendem a ficar mais altos no centro da distribuição (
) do que os de
(
). Assim a mediana diferencia melhor estes conjuntos neste caso.
Resposta
(a)
(b)
Não: as médias são praticamente iguais ( ) e as variâncias são muito próximas (
vs
), portanto média e variância por si só não distinguem bem
e
.
Não: as médias são praticamente iguais (
(c) Mediana —
e