Determine as retas tangentes à curva y=x^{2} que passam no ponto (0,-1).

Passo 1

O enunciado dá a parábola y=x^{2} e o ponto externo (0,-1).
O que se pede: determinar as equações das retas tangentes à curva y=x^{2} que passam pelo ponto (0,-1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva: y=x^{2}.
  • O ponto que a(s) reta(s) devem conter: (0,-1).
  • Não foi dado o ponto de tangência; esse ponto será determinado durante a resolução.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação breve do porquê): vou obter a reta tangente em um ponto genérico da parábola e impor que essa reta passe por (0,-1). Isso funciona porque uma reta tangente em um ponto (a,a^{2}) da parábola tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto; ao exigir que a reta passe por (0,-1) encontramos quais pontos de tangência são possíveis. Mais adiante faço uma checagem alternativa (condição algébrica de intersecção dupla) para confirmar.

Passo 3

Aula rápida sobre derivada e inclinação da tangente (passo a passo):
  • Para uma função y=f(x), a inclinação da reta tangente em x=a é dada por f'(a), a derivada de f em a.
  • Calcular a derivada de f(x)=x^{2} usando a definição limite:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.
  • Desenvolvendo o numerador:
(x+h)^{2}-x^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}.
  • Dividindo por h e tomando o limite:
\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Portanto a inclinação da tangente na abscissa x=a é f'(a)=2a.

Passo 4

Equação da reta tangente em um ponto genérico (a,a^{2}): usar a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação é
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto de tangência e m é a inclinação. Aqui x_{0}=a, y_{0}=a^{2} e m=2a. Logo:
y-a^{2}=2a(x-a).
Simplificar essa equação:
y-a^{2}=2ax-2a^{2}\quad\Rightarrow\quad y=2ax-a^{2}.

Passo 5

Impor que a reta passe por (0,-1): substituir x=0 e y=-1 na equação da reta obtida:
-1=2a\cdot0-a^{2}=-a^{2}.
Logo
a^{2}=1.
Portanto as abscissas possíveis do ponto de tangência são
a=1\quad\text{ou}\quad a=-1.

Passo 6

Calcular as retas correspondentes a cada a:
  • Para a=1: substituir em y=2ax-a^{2}:
y=2\cdot1\cdot x-1^{2}=2x-1.
  • Para a=-1: substituir em y=2ax-a^{2}:
y=2\cdot(-1)\cdot x-(-1)^{2}=-2x-1.

Passo 7

Verificação alternativa (cheque usando intersecção com multiplicidade): se uma reta y=mx+b é tangente à parábola y=x^{2} então o sistema
x^{2}=mx+b
tem uma raiz dupla (intersecção com multiplicidade 2). Colocando b=-1 porque a reta deve passar por (0,-1) obtemos
x^{2}=mx-1\quad\Rightarrow\quad x^{2}-mx+1=0.
A condição de raiz dupla é discriminante zero:
\Delta = (-m)^{2}-4\cdot1\cdot1=m^{2}-4=0.
Isso dá m^{2}=4, logo m=\pm2. Para m=2 a reta é y=2x-1; para m=-2 a reta é y=-2x-1. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

y=2x-1
y=-2x-1

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