Determine as retas tangentes à curva
que passam no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a parábola
e o ponto externo
.
O que se pede: determinar as equações das retas tangentes à curva que passam pelo ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: determinar as equações das retas tangentes à curva
Informações relevantes fornecidas:
- A curva:
. - O ponto que a(s) reta(s) devem conter:
. - Não foi dado o ponto de tangência; esse ponto será determinado durante a resolução.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação breve do porquê): vou obter a reta tangente em um ponto genérico da parábola e impor que essa reta passe por
. Isso funciona porque uma reta tangente em um ponto
da parábola tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto; ao exigir que a reta passe por
encontramos quais pontos de tangência são possíveis. Mais adiante faço uma checagem alternativa (condição algébrica de intersecção dupla) para confirmar.
Passo 3
Aula rápida sobre derivada e inclinação da tangente (passo a passo):
- Para uma função
, a inclinação da reta tangente em é dada por , a derivada de em . - Calcular a derivada de
usando a definição limite:
- Desenvolvendo o numerador:
- Dividindo por
e tomando o limite:
Portanto a inclinação da tangente na abscissa
é
.
Passo 4
Equação da reta tangente em um ponto genérico
: usar a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação é
onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação. Aqui
,
e
. Logo:
Simplificar essa equação:
Passo 5
Impor que a reta passe por
: substituir
e
na equação da reta obtida:
Logo
Portanto as abscissas possíveis do ponto de tangência são
Passo 6
Calcular as retas correspondentes a cada
:
- Para
: substituir em :
- Para
: substituir em :
Passo 7
Verificação alternativa (cheque usando intersecção com multiplicidade): se uma reta
é tangente à parábola
então o sistema
tem uma raiz dupla (intersecção com multiplicidade 2). Colocando
porque a reta deve passar por
obtemos
A condição de raiz dupla é discriminante zero:
Isso dá
, logo
. Para
a reta é
; para
a reta é
. Isso confirma o resultado anterior.