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oou
, como indicado.
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Ou seja, devemos encontrar a função
tal que
. Informação dada: o numerador é
e o denominador é o polinômio em
dado. Não há imagens nem dados adicionais.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o denominador completando o quadrado — isso nos permite identificar formas padrão da tabela de transformadas de Laplace. Vamos completar o quadrado de
.
Calculemos:
Portanto a função fica
Explicação breve do método: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático em uma soma de um quadrado
mais uma constante, o que é exatamente a forma que aparece nas transformadas de funções exponenciais multiplicadas por seno ou cosseno.
Passo 3
Agora lembre das transformadas padrão (estas são fórmulas que vale a pena decorar para a prova; explico o que cada símbolo significa):
- Para
reais com ,
Nessa fórmula,
é a taxa do fator exponencial
(deslocamento horizontal no
-plano) e
é a frequência angular do cosseno.
- E
Aqui
aparece no numerador; isso é o que diferencia a transformada do seno da do cosseno.
Observação útil para a prova: se o numerador for uma combinação
sobre
, a transformada inversa será
.
Passo 4
Compare a nossa expressão
com a forma padrão
. Aqui identificamos claramente
e
, porque
. O numerador é exatamente
. Logo, pela fórmula da transformada do seno,
Complemento pedagógico: se tivéssemos
a inversa seria
. Se o numerador fosse uma combinação, aplicar-se-ia a regra de decompor conforme indicado no Passo 3.
Passo 5
Verificação rápida: tomar a transformada de
usando a fórmula dá
, exatamente o que tínhamos. Também convém lembrar que a região de convergência é
, mas para a resposta como função no tempo basta a expressão encontrada.