Encontre F(s) oou f(t), como indicado.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\left(\frac{1}{s^{2}-6 s+10}\right)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{s^{2}-6s+10}.
Ou seja, devemos encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s^{2}-6s+10}. Informação dada: o numerador é 1 e o denominador é o polinômio em s dado. Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o denominador completando o quadrado — isso nos permite identificar formas padrão da tabela de transformadas de Laplace. Vamos completar o quadrado de s^{2}-6s+10.
Calculemos:
s^{2}-6s+10 = s^{2}-6s+9+1 = (s-3)^{2}+1.
Portanto a função fica
\frac{1}{s^{2}-6s+10}=\frac{1}{(s-3)^{2}+1}.
Explicação breve do método: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático em uma soma de um quadrado (s-a)^{2} mais uma constante, o que é exatamente a forma que aparece nas transformadas de funções exponenciais multiplicadas por seno ou cosseno.

Passo 3

Agora lembre das transformadas padrão (estas são fórmulas que vale a pena decorar para a prova; explico o que cada símbolo significa):
  • Para a,b reais com b>0,
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Nessa fórmula, a é a taxa do fator exponencial e^{at} (deslocamento horizontal no s-plano) e b é a frequência angular do cosseno.
  • E
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui b aparece no numerador; isso é o que diferencia a transformada do seno da do cosseno.
Observação útil para a prova: se o numerador for uma combinação A(s-a)+B sobre (s-a)^{2}+b^{2}, a transformada inversa será A e^{at}\cos(bt)+B e^{at}\sin(bt).

Passo 4

Compare a nossa expressão
\frac{1}{(s-3)^{2}+1}
com a forma padrão \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}. Aqui identificamos claramente a=3 e b=1, porque b^{2}=1\Rightarrow b=1. O numerador é exatamente 1=b. Logo, pela fórmula da transformada do seno,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-3)^{2}+1}\right\}=e^{3t}\sin(t).
Complemento pedagógico: se tivéssemos \dfrac{s-3}{(s-3)^{2}+1} a inversa seria e^{3t}\cos(t). Se o numerador fosse uma combinação, aplicar-se-ia a regra de decompor conforme indicado no Passo 3.

Passo 5

Verificação rápida: tomar a transformada de \,e^{3t}\sin(t)\, usando a fórmula dá \dfrac{1}{(s-3)^{2}+1}, exatamente o que tínhamos. Também convém lembrar que a região de convergência é \operatorname{Re}(s)>3, mas para a resposta como função no tempo basta a expressão encontrada.

Resposta

f(t)=e^{3t}\sin(t)

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