Uma dada amostra de material sólido foi submetida a análise termogravimétrica utilizando três rampas (taxas) de aquecimento distintas. A partir da tabela contendo os dados dessas medidas, estime a energia de ativação (em \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} ) do evento de degradação principal dessa amostra utilizando um método isoconversional, tendo como referência uma conversão de 20 \% da amostra.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a energia de ativação do evento de degradação principal usando um método isoconversional, tomando como referência a conversão de 20\%. Diz que a análise termogravimétrica foi feita com três rampas (três taxas de aquecimento) e que há uma tabela com os dados dessas medidas.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Pedido: estimar a energia de ativação (em \mathrm{kJ}\,/\,\mathrm{mol}) para \alpha=0{,}20 (20% de conversão) usando um método isoconversional.
  • Foram feitas medidas com três taxas de aquecimento diferentes (três valores de \beta).
    Informação que falta (necessária para calcular): a tabela com os resultados — especificamente, os valores da temperatura correspondente à conversão de 20\% para cada uma das três taxas de aquecimento. Sem esses valores numéricos não é possível obter um valor numérico da energia de ativação.

Passo 2

Qual método isoconversional usar e por quê.
Eu escolho usar o método de Kissinger–Akahira–Sunose (KAS) porque:
  • É um método isoconversional amplamente utilizado e ensinado em cursos básicos de cinética térmica.
  • Requer apenas os pares (\beta_i,T_i) no mesmo valor de conversão \alpha, o que bate com o que o enunciado fornece (três rampas e, presumivelmente, uma tabela com temperaturas em cada rampa).
  • A aplicação reduz-se a uma regressão linear simples, fácil de aplicar manualmente na prova (ou com uma calculadora básica).
Se preferir outro método (por exemplo Ozawa–Flynn–Wall) eu também explico a alternativa mais adiante — mas continuarei com KAS porque é direto e didático.

Passo 3

Apresentação da equação KAS e explicação detalhada de cada termo.
A forma que usaremos é
\ln\!\left(\frac{\beta}{T^{2}}\right)=\ln\!\left(\frac{AR}{E}\,g(\alpha)\right)-\frac{E}{RT}.
Explicando cada símbolo, com calma:
  • \beta é a taxa de aquecimento (em unidades de \mathrm{K}\,/\,\mathrm{min} ou \mathrm{K}\,/\,\mathrm{s}; use a mesma unidade para todas as rampas).
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}) correspondente à conversão escolhida ( \alpha=0{,}20 aqui). Se a tabela der T em ^\circ\mathrm{C}, converta por T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • A é o fator pré-exponencial da equação de velocidade (não precisamos conhecê-lo para o método isoconversional).
  • E é a energia de ativação (em \mathrm{J}\,/\,\mathrm{mol}), que queremos estimar.
  • R é a constante dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
  • g(\alpha) (ou f(\alpha)) representa a parte dependente da conversão; para um dado \alpha é constante e se incorpora no termo constante da regressão.
Por isso, para um mesmo \alpha (aqui \alpha=0{,}20) a equação é linear em \ln(\beta/T^2) versus 1/T, com coeficiente angular -E/R. Assim, se tivermos três pontos provenientes das três taxas, podemos ajustar uma reta e extrair E.

Passo 4

Dados necessários e passos práticos de preparação dos dados (o que você deve extrair da tabela).
Do que você precisa da tabela:
  • Para cada taxa \beta_i (três valores: \beta_1,\beta_2,\beta_3), o correspondente valor de temperatura T_i no qual a conversão atinge 20\%.
    Como preparar:
  1. Converter cada T_i para Kelvin: T_i(\mathrm{K})=T_i(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15 (se necessário).
  2. Calcular para cada ponto: x_i=\frac{1}{T_i},\qquad y_i=\ln\!\left(\frac{\beta_i}{T_i^2}\right).Atenção à unidade de \beta_i: se for \mathrm{K}\,/\,\mathrm{min} tudo bem desde que usada consistentemente nas três taxas.

Passo 5

Como calcular a inclinação da reta (regressão linear) — duas opções dependendo das ferramentas que você tiver na prova.
Opção A — se tiver apenas dois pontos (duas rampas): usar fórmula da inclinação entre dois pontos:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Opção B — com três pontos (o caso aqui) e para uma estimação mais robusta, usar regressão linear por mínimos quadrados. Para n=3 pontos o coeficiente angular m é
m=\frac{n\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_i\right)}{n\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^{2}},
onde aqui n=3. Faça as somas com cuidado (mostro um exemplo numérico no passo seguinte).

Passo 6

Como obter a energia de ativação a partir da inclinação.
A relação entre inclinação m e E é
m=-\frac{E}{R}\quad\Longrightarrow\quad E=-mR.
  • Isso fornece E em \mathrm{J}\,/\,\mathrm{mol}. Para obter \mathrm{kJ}\,/\,\mathrm{mol} divida por 1000:
E(\mathrm{kJ}\,/\,\mathrm{mol})=\frac{-mR}{1000}.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (dados inventados) — faço tudo passo a passo para você entender como aplicar na prova. ATENÇÃO: estes números são só um exemplo pedagógico; não são os dados da sua amostra.
Suponha que a tabela (hipotética) deu:
\beta_1=5\\ \mathrm{K/min},\\ T_1=450\\ \mathrm{K};
\beta_2=10\\ \mathrm{K/min},\\ T_2=480\\ \mathrm{K};
\beta_3=20\\ \mathrm{K/min},\\ T_3=510\\ \mathrm{K}.
Passo a passo:
  1. Calcule x_i e y_i: x_1=\frac{1}{450}=0{,}00222222,\quad y_1=\ln\!\left(\frac{5}{450^2}\right)=-10{,}6098,
x_2=\frac{1}{480}=0{,}00208333,\quad y_2=\ln\!\left(\frac{10}{480^2}\right)=-10{,}0449,
x_3=\frac{1}{510}=0{,}00196078,\quad y_3=\ln\!\left(\frac{20}{510^2}\right)=-9{,}4729.
  1. Calcule as somas necessárias: \sum x_i=0{,}00626633,\quad \sum y_i=-30{,}1276,
\sum x_i^2=1{,}31231\times10^{-5},\quad \sum x_i y_i=-0{,}063083.
  1. Use a fórmula da regressão (com n=3): m=\frac{3(-0{,}063083)-0{,}00626633(-30{,}1276)}{3(1{,}31231\times10^{-5})-(0{,}00626633)^2}\approx -3656\\ \mathrm{K}.
  2. Calcule E: E=-mR \approx 3656\times 8{,}314 \approx 30377\\ \mathrm{J}\,/\,\mathrm{mol}=30{,}38\\ \mathrm{kJ}\,/\,\mathrm{mol}.
Interpretação: com esses dados inventados a energia de ativação estimada seria \approx 30{,}4\\ \mathrm{kJ}\,/\,\mathrm{mol}. Isto serve para você ver o cálculo passo a passo e reproduzi-lo com os seus números reais.

Passo 8

Observações, checagens e alternativa (Ozawa/Flynn–Wall) rápida.
  • Cheque sempre a monotonicidade: para reações termogravimétricas a temperatura correspondente à mesma conversão normalmente aumenta quando a taxa \beta aumenta. Se seu conjunto de dados não mostrar isso, pode haver erro de leitura da tabela.
  • Alternativa Ozawa–Flynn–Wall (método integral iso-conversional) — forma prática: \log_{10}(\beta)=\text{const}-0{,}4567\frac{E}{RT}.Aqui, ao plotar \log_{10}(\beta) versus 1/T (mesmo T em K para a mesma \alpha), o coeficiente angular s s=-0{,}4567\frac{E}{R}\quad\Longrightarrow\quad E=-\frac{sR}{0{,}4567}.Esse método usa log base 10; o procedimento numérico é análogo (linearização e extração de E). Ambos (KAS e OFW) costumam dar valores próximos.

Passo 9

O que eu realmente posso entregar agora e o que falta.
  • Eu não consigo fornecer a estimativa numérica pedida porque a tabela com os dados experimentais (especificamente os valores de T correspondentes a \alpha=0{,}20 para cada taxa \beta) não foi enviada. Esses valores são essenciais e insubstituíveis para calcular E.
  • Acima eu te dei um procedimento completo, muito detalhado e um exemplo numérico ilustrativo: com esses passos você consegue, em poucos minutos na prova ou com uma calculadora, calcular E assim que tiver os T_i na conversão de 20\%.

Resposta

Não é possível estimar a energia de ativação porque a tabela com os valores de temperatura correspondentes a 20\% de conversão para cada taxa de aquecimento não foi fornecida; são esses valores que faltam para aplicar o método isoconversional (por exemplo KAS) e calcular E.

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