2 Dada uma aplicação linear T: R^2 R^2. Seja [T] a matriz de T numa base qualquer de R^2. Mostre que o polinômio característico de T é: pt(x)=x^2-Tr([T]) x+det([T]).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma aplicação linear e sua matriz qualquer em alguma base, o polinômio característico definido por
é igual a
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz e identificação de traço () e determinante ( ).

Passo 2

Definimos explicitamente A=(aij) como
A = a11 & a12 a21 & a22 ,
e I2 é a matriz identidade 2times2. O polinômio característico de T é
pT(x)=detl(xI2-Ar)

Passo 3

Escrevemos a matriz xI2-A em forma explícita:
xI2-A = x & 0 0 & x - a11 & a12 a21 & a22 = x - a11 & -,a12[6pt] -,a21 & x - a22 ]

Passo 4

Agora calculamos o determinante dessa matriz 2times2:
detl(xI2-Ar) =(x - a11)(x - a22) - (-a12)(-a21) =x^2 - (a11+a22),x + (a11a22-a12a21)

Passo 5

Reconhecemos que
Substituindo em obtemos

Resposta

pT(x)=x^2-Tr([T]),x+det([T])

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