2 Dada uma aplicação linear
. Seja
a matriz de
numa base qualquer de
. Mostre que o polinômio característico de
é:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma aplicação linear
e sua matriz qualquer
em alguma base, o polinômio característico definido por
é igual a
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz
e identificação de traço () e determinante (
).
Passo 2
Definimos explicitamente
como
e
é a matriz identidade
. O polinômio característico de
é
Passo 3
Escrevemos a matriz
em forma explícita:
Passo 4
Agora calculamos o determinante dessa matriz
2times2 :
Passo 5
Reconhecemos que
Substituindo em
obtemos