Sejam x, y, z in Q, então são válidas com a soma:
Comutatividade: x+y=y+x

Passo 1

O enunciado pede para listar e justificar as propriedades da operação de soma em Q. O conteúdo é a estrutura de grupo abeliano (fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso) para a soma dos números racionais.

Passo 2

Fechamento: preciso mostrar que, dado x,yinQ, a soma x+y também está em Q. De fato, se
x=ab, y=cd, a,b,c,dinZ,;b,dneq0,
então
x+y=ab+cd=ad+bcbd,
e como ad+bc e bd são inteiros e bdneq0, concluímos x+yinQ.

Passo 3

Comutatividade: para quaisquer x,yinQ, pela definição de soma de frações,
x+y=ab+cd=ad+bcbd e y+x=cd+ab=cb+dadb
Como ad+bc=cb+da e bd=db, segue
x+y=y+x

Passo 4

Associatividade: para quaisquer x,y,zinQ, basta usar a associatividade de soma de inteiros no numerador e denominador. Escrevendo
x=ab,;y=cd,;z=ef,
temos
(x+y)+z =l(ad+bcbdr)+ef =(ad+bc)f+e,bdbd,f,
x+(y+z) =ab+l(cf+dedfr) =a,df+(cf+de)bb,df
Como as expressões numéricas coincidem (soma de inteiros é associativa), conclui-se
(x+y)+z = x+(y+z)

Passo 5

Elemento neutro: existe 0inQ tal que, para todo xinQ,
x+0 = x e 0+x = x
De fato,
0=01inQ,
e ab + 0 = ab + 01 = acdot1 + 0cdot bbcdot1 = ab

Passo 6

Elemento inverso: para cada xinQ existe -xinQ tal que
x + (-x) = 0 e (-x) + x = 0
Se x=ab, basta tomar
- x = -abinQ,
pois
ab + -ab = a + (-a)b = 0

Resposta

As propriedades da soma em Q são:
(a) Fechamento: se x,yinQ então x+yinQ.
(b) Comutatividade: x+y=y+x.
(c) Associatividade: (x+y)+z = x+(y+z).
(d) Neutro: existe 0inQ com x+0 = x.
(e) Inverso: para todo xinQ existe -x com x+(-x)=0.

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