Sejam
, então são válidas com a soma:
Comutatividade:
Comutatividade:
Passo 1
O enunciado pede para listar e justificar as propriedades da operação de soma em
. O conteúdo é a estrutura de grupo abeliano (fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso) para a soma dos números racionais.
Passo 2
Fechamento: preciso mostrar que, dado
, a soma
também está em
. De fato, se
então
e como
e
são inteiros e
, concluímos
.
Passo 3
Comutatividade: para quaisquer
, pela definição de soma de frações,
Como
e
, segue
Passo 4
Associatividade: para quaisquer
, basta usar a associatividade de soma de inteiros no numerador e denominador. Escrevendo
temos
Como as expressões numéricas coincidem (soma de inteiros é associativa), conclui-se
Passo 5
Elemento neutro: existe
tal que, para todo
,
De fato,
e
Passo 6
Elemento inverso: para cada
existe
tal que
Se
, basta tomar
pois
Resposta
As propriedades da soma em
são:
(a) Fechamento: se então
.
(b) Comutatividade: .
(c) Associatividade: .
(d) Neutro: existe com
.
(e) Inverso: para todo existe
com
.
(a) Fechamento: se
(b) Comutatividade:
(c) Associatividade:
(d) Neutro: existe
(e) Inverso: para todo