Questão 3 ( 3 pts.) No espaço R^3 com o produto interno usual considere a base B= v1, v2, v3 onde v1=(1,1,1), v2=(1,0,-2) e v3=(-1,0,1). Use Gram-Schmidt para ortogonalizar a base B.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt na base B=v1,v2,v3 de R^3 (produto interno usual) com
v1=(1,1,1), v2=(1,0,-2), v3=(-1,0,1)
O objetivo é obter uma base ortogonal u1,u2,u3.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor da base ortogonal por
u1=v1=(1,1,1)
Para o segundo vetor subtraímos de v2 sua projeção sobre u1. Calculamos
lang<= v1,v1rang<==1^2+1^2+1^2=3, lang<= v2,u1rang<==1cdot1+0cdot1+(-2)cdot1=-1
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proju1(v2) =lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =-13(1,1,1)

Passo 3

Subtraindo a projeção de v2 obtemos
u2 =v2-proju1(v2) =(1,0,-2)-l(-tfrac13,-tfrac13,-tfrac13r) =l(tfrac43,tfrac13,-tfrac53r)
Para simplificar, podemos escolher
u2=(4,1,-5),
pois é paralelo ao vetor acima e mantém ortogonalidade com u1.

Passo 4

Para u3 retiramos de v3 as projeções sobre u1 e u2. Primeiro
lang<= v3,u1rang<= =(-1)cdot1+0cdot1+1cdot1=0,
então não há componente em u1. Depois calculamos
lang<= v3,u2rang<= =(-1)cdot4+0cdot1+1cdot(-5)=-9, lang<= u2,u2rang<==4^2+1^2+(-5)^2=42,
portanto
proju2(v3) =-942(4,1,-5) =-314(4,1,-5) =l(-tfrac67,-tfrac314,tfrac1514r)
Subtraindo de v3 temos
u3 =v3-proju2(v3) =(-1,0,1)-l(-tfrac67,-tfrac314,tfrac1514r) =l(-tfrac17,tfrac314,-tfrac114r)
Escalando para inteiros, escolhemos
u3=(-2,3,-1)

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
,u1=(1,1,1),;u2=(4,1,-5),;u3=(-2,3,-1)

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