Seja \alpha\{(1,1),(1,-1)\} e \beta=\{(-1,1),(0,2)\} base de \mathbb{R}^{2}
Calcule as matrizes:
I_{\alpha}^{\beta}

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^{2}:
\alpha=\{(1,1),(1,-1)\},\qquad \beta=\{(-1,1),(0,2)\}.
Pede-se para calcular a matriz I_{\alpha}^{\beta}.

Passo 2

O que é I_{\alpha}^{\beta}? É a matriz que converte coordenadas de um vetor escritas na base \alpha para coordenadas do mesmo vetor escritas na base \beta. Na prática, as colunas de I_{\alpha}^{\beta} são as coordenadas, em relação à base \beta, dos vetores da base \alpha. Ou seja, se \alpha=(v_1,v_2), então a primeira coluna de I_{\alpha}^{\beta} é o vetor de coordenadas de v_1 em \beta e a segunda coluna é o vetor de coordenadas de v_2 em \beta.

Passo 3

Vamos escrever o primeiro vetor de \alpha\), \(v_1=(1,1)\), como combinação linear das vetores de \(\beta\): \[c_1(-1,1)+c_2(0,2)=(1,1).
Isso dá o sistema de equações (comparando componentes):
\begin{cases} - c_1 = 1,\\[4pt] c_1 + 2c_2 = 1. \end{cases}
Da primeira equação obtemos c_1=-1\]. Substituindo na segunda: \[-1 + 2c_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2c_2 = 2 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 1.\] Logo, as coordenadas de \(v_1 na base \beta são (-1,1) (coluna vertical).]

Passo 4

Agora escrevemos o segundo vetor de \alpha\), \(v_2=(1,-1)\), como combinação das vetores de \(\beta\): \[d_1(-1,1)+d_2(0,2)=(1,-1).
Comparando componentes obtemos o sistema:
\begin{cases} - d_1 = 1,\\[4pt] d_1 + 2d_2 = -1. \end{cases}
Da primeira equação vem d_1=-1\]. Substituindo na segunda: \[-1 + 2d_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad 2d_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad d_2 = 0.\] Logo, as coordenadas de \(v_2 na base \beta são (-1,0).]

Passo 5

Montamos a matriz I_{\alpha}^{\beta} cujas colunas são as coordenadas de v_1 e v_2 em \beta:
I_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (controle): aplicando a primeira coluna a \beta obtemos
-1\cdot(-1,1)+1\cdot(0,2)=(1,-1)+(0,2)=(1,1)=v_1,
e aplicando a segunda coluna
-1\cdot(-1,1)+0\cdot(0,2)=(1,-1)=v_2.
Conferido: as colunas realmente reproduzem os vetores de \alpha.

Resposta

\begin{pmatrix} -1 & -1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}]

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