(3,5) Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} e G: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} os operadores lineares dados por F(x, y, z)= (x+y, x-y, z) e G(x, y, z)=(2 x, 2 y, 2 x+2 y). Determine em relação à base canônica as matrizes dos seguintes operadores lineares F+2 G e (F \circ G)^{-1} se existirem, caso contrário justifique.
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações lineares F,G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definidas por
F(x,y,z) = (x+y,\; x-y,\; z)
G(x,y,z) = (2x,\; 2y,\; 2x+2y).
Pede-se:
A matriz de F+2G em relação à base canônica de \mathbb{R}^3.
A matriz de (F\circ G)^{-1} em relação à base canônica, se existir; caso contrário, justificar por que não existe.
Informações relevantes do enunciado já listadas acima; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Como encontrar a matriz de uma aplicação linear na base canônica: seja \{e_1,e_2,e_3\} a base canônica com e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). A matriz de uma aplicação linear T nessa base tem como j-ésima coluna a imagem T(e_j) escrita nas coordenadas canônicas. Vou calcular primeiro as imagens de e_1,e_2,e_3 por F.
Calculemos:
F(e_1)=F(1,0,0)=(1+0,\;1-0,\;0)=(1,1,0),
F(e_2)=F(0,1,0)=(0+1,\;0-1,\;0)=(1,-1,0),
F(e_3)=F(0,0,1)=(0+0,\;0-0,\;1)=(0,0,1).
Portanto a matriz de F na base canônica, que chamo de A_F, é (cada coluna é uma das imagens acima):
Agora calcule F+2G. A matriz correspondente é simplesmente A_F + 2A_G (soma e multiplicação por escalar de matrizes correspondem às operações entre aplicações lineares).
Portanto a matriz de F+2G na base canônica é \begin{pmatrix}5&1&0\\\ 1&3&0\\\ 4&4&1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Agora estudamos F\circ G. A matriz de composição é o produto A_F A_G. Uma forma prática de obter as colunas de A_F A_G é aplicar F a cada coluna de A_G (porque a j-ésima coluna de A_G é G(e_j), e então A_F aplicada a essa coluna dá F(G(e_j))=(F\circ G)(e_j)).
Verificamos se (F\circ G) é invertível. Critérios úteis:
Para uma matriz quadrada 3\times3, se o determinante for 0 então não é invertível.
Outra observação mais simples aqui: se uma aplicação linear tem vetor não nulo no núcleo, então não é injetora, logo não é invertível. Note que G(e_3)=(0,0,0) — isto significa que e_3\neq 0 está no núcleo de G. Como G não é injetora, a composição F\circ G também não é injetora (se G(v)=0 então (F\circ G)(v)=F(0)=0), então F\circ G não é invertível.
Também, olhando para a matriz A_{F\circ G}, a terceira coluna é o vetor nulo; isso implica determinante zero imediatamente. Portanto (F\circ G)^{-1} não existe.