Dada uma aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que T(x, y)=(x-2 y, x+y)
Responda:
a) Mostre que T é uma transformação linear do \mathbb{R}^{2} para o \mathbb{R}^{2}.
b) Achar a \operatorname{Im}(T)
c) Achar o \operatorname{Ker}(T)
d) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))
e) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))
f) Bônus dê a matriz da Transformação Linear.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (\,x - 2y,\;x + y\,).
O que vamos fazer:
(a) mostrar que T é linear usando definição de transformação linear;
(b) achar \operatorname{Im}(T) como span de vetores;
a) T é linear.
b) \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
c) \operatorname{Ker}(T)=\{(0,0)\}.
d) \dim(\operatorname{Im}(T))=2.
e) \dim(\operatorname{Ker}(T))=0.
f) \displaystyle[T]=\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.