Dada uma aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que T(x, y)=(x-2 y, x+y)
Responda:
a) Mostre que T é uma transformação linear do \mathbb{R}^{2} para o \mathbb{R}^{2}.
b) Achar a \operatorname{Im}(T)
c) Achar o \operatorname{Ker}(T)
d) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))
e) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))
f) Bônus dê a matriz da Transformação Linear.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (\,x - 2y,\;x + y\,).
O que vamos fazer:
  • (a) mostrar que T é linear usando definição de transformação linear;
  • (b) achar \operatorname{Im}(T) como span de vetores;
  • (c) achar \operatorname{Ker}(T) resolvendo T(x,y)=(0,0);
  • (d) e (e) determinar \dim(\operatorname{Im}(T)) e \dim(\operatorname{Ker}(T));
  • (f) bônus: encontrar a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, verificamos as duas propriedades:
  1. Aditividade. Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
T(u+v)=T\bigl(x_1+x_2,\;y_1+y_2\bigr) =\bigl((x_1+x_2)-2(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\bigr)
=\bigl(x_1-2y_1,\;x_1+y_1\bigr)+\bigl(x_2-2y_2,\;x_2+y_2\bigr) =T(u)+T(v).
  1. Homogeneidade. Para \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y),
T(\alpha u)=T(\alpha x,\alpha y) =(\alpha x-2\alpha y,\;\alpha x+\alpha y) =\alpha\,(x-2y,\;x+y) =\alpha\,T(u).
Como as duas propriedades valem, T é transformação linear.

Passo 3

Para achar \operatorname{Im}(T), vemos a imagem dos vetores da base canônica:
T(1,0)=(1-2\cdot0,\;1+0)=(1,1), \quad T(0,1)=(0-2\cdot1,\;0+1)=(-2,1).
Logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1),\,(-2,1)\}.

Passo 4

Verificamos que (1,1)\) e \((-2,1)\) são linearmente independentes pois, se \[a(1,1)+b(-2,1)=(0,0),
então o sistema
\begin{cases} a-2b=0,\\\ a+b=0 \end{cases}
implica b=0\] e \(a=0. Como temos dois vetores independentes em \mathbb{R}^2, seu span é todo \mathbb{R}^2.
Portanto
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.

Passo 5

Para \operatorname{Ker}(T)\), resolvemos \[T(x,y)=(0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x-2y=0,\\\ x+y=0. \end{cases}
Da primeira equação x=2y\]. Substituindo na segunda, \(2y+y=0 y=0 e então x=0.
Logo
\operatorname{Ker}(T)=\{(0,0)\}.

Passo 6

Como \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2 tem base com 2 vetores,
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.
E \operatorname{Ker}(T) só contém o vetor nulo, então
\dim(\operatorname{Ker}(T))=0.

Passo 7

Bônus: na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, as colunas da matriz de T são T(1,0) e T(0,1). Assim,
[T] = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

a) T é linear.
b) \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
c) \operatorname{Ker}(T)=\{(0,0)\}.
d) \dim(\operatorname{Im}(T))=2.
e) \dim(\operatorname{Ker}(T))=0.
f) \displaystyle[T]=\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

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