Mostrar que o conjunto \left\{1, e^{x}, x e^{x}\right\} de vetores de C(10,11) d L.l.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções
\{\,1,\;e^{x},\;x\,e^{x}\}
é linearmente independente em C([10,11]), o espaço das funções contínuas em [10,11].
Conteúdo: independência linear de funções e uso do Wronskiano como critério.

Passo 2

Lembrando que três funções diferenciáveis y_{1},y_{2},y_{3} são linearmente independentes se o Wronskiano
W(y_{1},y_{2},y_{3})(x) =\det \begin{pmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x) & y_{3}(x)\\\ y_{1}'(x)&y_{2}'(x)&y_{3}'(x)\\\ y_{1}''(x)&y_{2}''(x)&y_{3}''(x) \end{pmatrix}
é não nulo para algum x (e então em todo o intervalo). Vamos aplicar isso a
y_{1}(x)=1,\quad y_{2}(x)=e^{x},\quad y_{3}(x)=x\,e^{x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
y_{1}'(x)=0,\quad y_{1}''(x)=0,
y_{2}'(x)=e^{x},\quad y_{2}''(x)=e^{x},
y_{3}'(x)=e^{x}+x\,e^{x}=e^{x}(1+x),\quad y_{3}''(x)=\frac{d}{dx}[e^{x}(1+x)] =e^{x}(1+x)+e^{x}=e^{x}(2+x).

Passo 4

Montamos o Wronskiano:
W(x)= \det \begin{pmatrix} 1 & e^{x} & x\,e^{x}\\\\ 0 & e^{x} & e^{x}(1+x)\\\\ 0 & e^{x} & e^{x}(2+x) \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira coluna dá
W(x) =1\cdot\det \begin{pmatrix} e^{x} & e^{x}(1+x)\\\ e^{x} & e^{x}(2+x) \end{pmatrix} = e^{x}\cdot e^{x}\bigl[(2+x)-(1+x)\bigr] = e^{2x}\cdot1 = e^{2x}.

Passo 5

Como e^{2x}>0 para todo x\in[10,11], temos W(x)\neq0 em todo o intervalo. Pelo critério do Wronskiano, as três funções são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto \{1,\;e^{x},\;x\,e^{x}\} é linearmente independente em C([10,11]).

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