é uma base, ou seja, é um conjunto de 5 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^5.
b) Dada a matriz de mudança de coordenadas de \beta para \alpha,
cada coluna dá as coordenadas de b_j (o j-ésimo vetor de \beta) na base \alpha.
c) Para um vetor \mathbf{v} com [\mathbf{v}]_{\beta} conhecido, basta multiplicar [\mathbf{v}]_{\alpha}=[I]_{\beta}^{\alpha}\,[\mathbf{v}]_{\beta}.
Passo 2
Verificamos a independência linear de \alpha. Seja
a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5=0.
Escrevendo componente a componente:
1ª coordenada: a_1+2a_2+3a_3=0
2ª coordenada: a_1 - a_2+2a_3=0
3ª coordenada: -a_1=0 \implies a_1=0
4ª coordenada: a_4=0
5ª coordenada: a_5=0
Com a_1=0, as duas primeiras ficam
2a_2+3a_3=0,\quad -a_2+2a_3=0.
Da segunda, a_2=2a_3. Substituindo na primeira, 4a_3+3a_3=7a_3=0\implies a_3=0\implies a_2=0.
Logo todos os a_i=0, provando independência. Como temos 5 vetores num espaço de dimensão 5, \alpha é base.
a) \alpha é base de \mathbb{R}^5 pois é conjunto de 5 vetores linearmente independentes.
b) \displaystyle \beta=\{(4,3,-1,0,0),\,(-1,2,-1,0,0),\,(-1,-3,0,0,0),\,(0,0,0,1,0),\,(0,0,0,0,1)\}.
c) \displaystyle [\mathbf{v}]_{\alpha}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -4\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.