Seja V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta.
a) \left(1,0\right. ponto) W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): a=d^{2}\right. e \left.b=c\right\} é subespaço vetorial de V.
b) (1,0 ponto )\left(\begin{array}{ll}0 & 5 \\\\ 6 & 7\end{array}\right) \in\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{rr}1 & 7 \\\\ 9 & 11\end{array}\right)\right].

Passo 1

O enunciado trabalha em V = M_{2\times2}(\mathbb{R}) e pede:
a) verificar se
W = \biggl\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) : a = d^2\text{ e }b = c\biggr\}
é subespaço de V;
b) decidir se \displaystyle \begin{pmatrix}0 & 5\\\ 6 & 7\end{pmatrix} pertence ao subespaço gerado por \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix} e \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 7\\\ 9 & 11\end{pmatrix}.
Para (a) vamos usar o critério de fechamento sob soma; para (b) montamos uma combinação linear e resolvemos o sistema.

Passo 2

Para (a), escolhemos
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.
Em A temos d=1, d^2=1=a e b=0=c, logo A\in W. Em B temos d=-1, d^2=1=a e b=0=c, logo B\in W.
Mas
A + B = \begin{pmatrix}1+1 & 0+0\\\ 0+0 & 1+(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui d=0 mas a=2\neq0^2. Logo A+B\notin W, mostrando que W não é fechado sob soma. Assim W não é subespaço.

Passo 3

Para (b), seja
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & 7\\\ 9 & 11\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 5\\\ 6 & 7\end{pmatrix}.
Procuramos \alpha,\beta\) tais que \[\alpha\,A + \beta\,B = C.
Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = 0,\\\\ 2\alpha + 7\beta = 5,\\\\ 3\alpha + 9\beta = 6,\\\\ 4\alpha + 11\beta = 7. \end{cases}
Da primeira equação \alpha=-\beta\]. Substituindo na segunda: \[-2\beta + 7\beta = 5\quad\Longrightarrow\quad5\beta=5\quad\Longrightarrow\quad\beta=1,\;\alpha=-1.\] Verifica-se que essas mesmas \(\alpha,\beta satisfazem as terceira e quarta equações. Logo existe combinação linear e \,C\in\bigl[A,B\bigr].

Resposta

(a) F
(b) V

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