Dada uma aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que T(x, y)=(x, x-y, x+y+z) Responda:
a) Mostre que T é uma transformação linear do \mathbb{R}^{2} para o \mathbb{R}^{3}.
b) Achar a \operatorname{Im}(T)
c) Achar o \operatorname{Ker}(T)
d) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))
e) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))
f) Bônus dê a matriz da Transformação Linear.

Passo 1

O enunciado afirma que \displaystyle T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}
é dada por
T(x,y) \;=\;\bigl(x,\;x - y,\;x + y + z\bigr).
Porém, na terceira componente aparece a variável z, que não faz parte do par (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Como o domínio foi declarado como \mathbb{R}^{2} (somente x e y) mas a fórmula usa também z, o enunciado está inconsistente. Não há definição de T para a variável z, logo não é possível prosseguir com a prova de linearidade nem encontrar imagem, núcleo, dimensões ou matriz sem esclarecer se o domínio é de fato \mathbb{R}^{2} ou \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Não há como resolver o exercício porque o enunciado está mal-formulado: falta definir a variável z no domínio.

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