Calcule o determine da matriz abaixo. Se a matriz for invertível, encontre sua inversa.
A=\left[\begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 & 5 & 2 \\\\ -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det(A) para a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 & 5 & 2 \\\\ -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
e, caso \det(A)\neq0, encontrar A^{-1}. Vamos usar a eliminação de Gauss para obter uma forma triangular e calcular o determinante como produto dos pivôs, e depois aplicar Gauss–Jordan na matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] para achar A^{-1}.

Passo 2

Começamos computando \det(A) por eliminação de Gauss:
  1. Troca de linhas R_1\leftrightarrow R_2 (fator -1).
  2. Eliminação abaixo do primeiro pivô na coluna 1 produz uma matriz triangular com pivôs
1,\;-1,\;3,\;1,\;-1.
  1. Foram feitas ao todo três trocas de linhas (fator total (-1)^3=-1).
Assim, se U é a forma triangular obtida,
\det(A)=(-1)\times1\times(-1)\times3\times1\times(-1)=-3.

Passo 3

Como \det(A)=-3\neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Para achar A^{-1}, montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid I_5\bigr] e aplicamos eliminação de Gauss–Jordan. Após escalonamento para a forma escalonada superior e, em seguida, eliminação acima e normalização dos pivôs, chegamos à forma
\left[\begin{array}{ccccc|ccccc} 1&0&0&0&0&0&-1&1&0&-1\\\\ 0&1&0&0&0&\tfrac{1}{3}&3&-\tfrac{4}{3}&-\tfrac{2}{3}&-\tfrac{1}{3}\\\\ 0&0&1&0&0&-\tfrac{2}{3}&0&\tfrac{2}{3}&\tfrac{1}{3}&-\tfrac{1}{3}\\\\ 0&0&0&1&0&0&-1&0&0&1\\\\ 0&0&0&0&1&1&1&-1&0&0 \end{array}\right].

Passo 5

Na última forma, o bloco à direita já é A^{-1}. Portanto,
A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & 0 & -1\\[6pt] \tfrac{1}{3} & 3 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & -1 & 0 & 0 & 1\\[6pt] 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \det(A)=-3.
A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & 0 & -1\\[6pt] \tfrac{1}{3} & 3 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & -1 & 0 & 0 & 1\\[6pt] 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

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