onde S_{n}=1+2+3+\cdots+n é a soma dos n primeiros números naturais. Mostre que \operatorname{det}(A)=n! (fatorial).
Passo 1
O enunciado apresenta a matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} cujos elementos são
A_{ij}=S_{\min(i,j)},
onde
S_{k}=1+2+\cdots+k\quad\text{(soma dos \(k\) primeiros naturais).}
Queremos mostrar que \det(A)=n!. O conteúdo principal aqui é fatorar A em produto de matrizes triangulares para usar a propriedade de determinante de produto.
Passo 2
Observamos que
S_{k}-S_{k-1}=k,
para k\ge1 (com a convenção S_{0}=0). Portanto, para quaisquer índices i,j,
A_{ij}=S_{\min(i,j)} =\sum_{k=1}^{\min(i,j)}k.
Passo 3
Definimos a matriz triangular inferior L=(L_{i k})\) por
\[L_{i k}=\begin{cases} 1,&k\le i,\\\\ 0,&k>i, \end{cases}
e a matriz diagonal (D=\operatorname{diag}(d_{1},d_{2},\dots,d_{n})] com d_{k}=k.
Passo 4
Verificamos que a fatoração
A=L\,D\,L^{T}
é válida, pois o (i,j)-ésimo elemento de L\,D\,L^{T} é