Se um quadrilátero
de
é um paralelogramo que tem
e
como vértices opos. tos, demonstrar que
. Que teorema relativo aos paralelogramos pode deduzir-se desta igualdade?
Passo 1
O enunciado diz que temos um paralelogramo cujos vértices, em coordenadas vetoriais, são
(origem),
,
e
, com
e
opostos. Precisamos mostrar que
O conteúdo é geometria vetorial em
e vamos usar a propriedade fundamental de um paralelogramo: o vetor que liga a origem a um vértice oposto é a soma dos vetores que ligam a origem aos outros dois vértices consecutivos.
Passo 2
Pela propriedade do paralelogramo
, o vetor posição de
satisfaz
Como identificamos
,
e
, obtemos
Passo 3
Agora reescrevemos o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Pelo resultado do passo anterior,
, segue que
Isso completa a demonstração de
Passo 4
A partir dessa igualdade, deduzimos o teorema clássico dos paralelogramos:
os quinas (pontos médios) dos dois segmentos que ligam vértices opostos coincidem. Em outras palavras, as diagonais de um paralelogramo dividem-se mutuamente ao meio.
os quinas (pontos médios) dos dois segmentos que ligam vértices opostos coincidem. Em outras palavras, as diagonais de um paralelogramo dividem-se mutuamente ao meio.
Resposta
A igualdade mostra que o ponto médio de
coincide com o ponto médio de
. Portanto, deduzimos que as diagonais de um paralelogramo se bissetam (se cortam nos seus pontos médios).