Se um quadrilátero O A B C de V_{2} é um paralelogramo que tem A e C como vértices opos. tos, demonstrar que A+\frac{1}{2}(C-A)=\frac{1}{2} B. Que teorema relativo aos paralelogramos pode deduzir-se desta igualdade?

Passo 1

O enunciado diz que temos um paralelogramo cujos vértices, em coordenadas vetoriais, são O (origem), A, B e C, com A e C opostos. Precisamos mostrar que
A + \frac12\bigl(C - A\bigr) \;=\;\frac12\,B.
O conteúdo é geometria vetorial em V_2 e vamos usar a propriedade fundamental de um paralelogramo: o vetor que liga a origem a um vértice oposto é a soma dos vetores que ligam a origem aos outros dois vértices consecutivos.

Passo 2

Pela propriedade do paralelogramo OABC, o vetor posição de B satisfaz
\vec{OB} \;=\;\vec{OA} \;+\;\vec{OC}.
Como identificamos \vec{OA}=A, \vec{OB}=B e \vec{OC}=C, obtemos
B \;=\;A + C.

Passo 3

Agora reescrevemos o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
A + \tfrac12\bigl(C - A\bigr) \;=\; A + \tfrac12\,C \;-\;\tfrac12\,A \;=\; \tfrac12\,A + \tfrac12\,C \;=\; \tfrac12\,(A + C).
Pelo resultado do passo anterior, A+C=B, segue que
\tfrac12\,(A + C) \;=\; \tfrac12\,B.
Isso completa a demonstração de
A + \tfrac12\bigl(C - A\bigr) \;=\;\tfrac12\,B.

Passo 4

A partir dessa igualdade, deduzimos o teorema clássico dos paralelogramos:
os quinas (pontos médios) dos dois segmentos que ligam vértices opostos coincidem. Em outras palavras, as diagonais de um paralelogramo dividem-se mutuamente ao meio.

Resposta

A igualdade mostra que o ponto médio de AC coincide com o ponto médio de OB. Portanto, deduzimos que as diagonais de um paralelogramo se bissetam (se cortam nos seus pontos médios).

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