Dada uma base E, verifique se os vetores u=(1,-2,1)E, v=(0,1,3)E e w=(0,-1,3)E são LI ou LD.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3 expressos na base E:
u = (1,-2,1)E, v = (0,1,3)E, w = (0,-1,3)E
Queremos verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos usar a condição de que três vetores em R^3 são LI se, e somente se, o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas for não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são u,v,w:
A = 1 & 0 & 0 [6pt] -2 & 1 & -1 [6pt] 1 & 3 & 3
Por um resultado padrão de álgebra linear, u,v,w são LI se, e somente se, det(A) neq 0.]

Passo 3

Calculamos o determinante de A pela expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdot det!1 & -1[3pt]3 & 3 - 0cdot(cdots) + 0cdot(cdots) = 1l(1cdot 3 - (-1)cdot 3r) = 1l(3 + 3r) = 6
Como det(A)=6 neq 0, concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule esses vetores.]

Resposta

Os vetores u,v,w são linearmente independentes.

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