Fixemos uma base E. Seja u=(1,2,2)E, v=(m-1,1, m-2)E e w=(m+1, m-1,2)E. Determine m de modo que u, v, w seja LD.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em relação a uma base E:
u = (1,2,2)E, v = (m-1,1,m-2)E, w = (m+1,m-1,2)E,
e pede os valores de m que tornam u,v,w linearmente dependentes.
Para isso usamos o critério de que três vetores em R^3 são LD se, e somente se, a matriz formada por suas coordenadas tem determinante zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são u,v,w:
A = 1 & m-1 & m+1 2 & 1 & m-1 2 & m-2 & 2

Passo 3

Calculamos det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) =1cdotdet1 & m-1 m-2 & 2 -(m-1)cdotdet2 & m-1 2 & 2 +(m+1)cdotdet2 & 1 2 & m-2
Agora cada menor:
det1 & m-1 m-2 & 2 =1cdot2-(m-1)(m-2)=-m^2+3m,
det2 & m-1 2 & 2 =2cdot2-2(m-1)=6-2m,
det2 & 1 2 & m-2 =2(m-2)-2=2m-6
Substituindo:
det(A) =(-m^2+3m) -(m-1)(6-2m) +(m+1)(2m-6)

Passo 4

Expandindo e simplificando:
-(m-1)(6-2m) = -l(-2m^2+8m-6r)=2m^2-8m+6,
(m+1)(2m-6)=2m^2-4m-6,
então
det(A) =-m^2+3m +2m^2-8m+6 +2m^2-4m-6 =3m^2-9m =3m(m-3)
Para LD, det(A)=0, logo
3m(m-3)=0 Longrightarrow m=0 ou m=3

Resposta

m=0 ou m=3.

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