Em um triângulo A B C o ponto M é tal que 3 B M=7 M C. Verifique que os vetores A M, A B e A C são LD.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo ABC e um ponto M sobre BC tal que
3,BM=7,MC
Queremos mostrar que AM, AB e AC são linearmente dependentes, isto é, encontrar escalares não todos nulos que façam
alpha,AM+beta,AB+gamma,AC=0

Passo 2

Usemos a relação de soma de vetores no segmento BC:
BC=BM+MC
Da condição 3,BM=7,MC, temos
MC=tfrac37,BM

Passo 3

Substituindo MC em BC=BM+MC
BC =BM+tfrac37,BM =tfrac107,BM,
logo
BM=tfrac710,BC

Passo 4

Agora expressamos AM em função de AB e BC:
AM =AB+BM =AB+tfrac710,BC
Como BC=AC-AB, vem
BM =tfrac710l(AC-ABr) =-tfrac710,AB+tfrac710,AC
Substituindo em AM resulta
AM =AB -tfrac710,AB +tfrac710,AC =tfrac310,AB+tfrac710,AC

Passo 5

Para evidenciar a dependência linear, multiplica-se por 10:
10,AM =3,AB+7,AC,
ou seja
10,AM -3,AB -7,AC =0
Isso mostra que há combinação linear não trivial que anula esses vetores.

Resposta

10,AM-3,AB-7,AC =0,
logo AM, AB e AC são linearmente dependentes.

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