Seja E=e1, e2, e3 uma base de E^3. Sendo u=(1,-1,3)E, v=(2,1,3)E e w= (-1,-1,4)E, verifique se w é combinação linear de u e v.

Passo 1

O enunciado dá uma base E=e1,e2,e3 de E^3 e três vetores dados por coordenadas em E:
vec u=(1,-1,3)E, vec v=(2,1,3)E e vec w=(-1,-1,4)E.
Queremos ver se existe combinação linear de vec u e vec v que produza vec w, ou seja, se vec winSpanvec u,vec v.

Passo 2

Para testar isso, suponha que existam escalares alpha e beta tais que
alpha,vec u + beta,vec v ;=;vec w
Em coordenadas na base E, isso vira
alpha,(1,-1,3) + beta,(2,1,3) = (-1,-1,4)

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
alpha + 2beta = -1, -alpha + beta = -1, 3alpha + 3beta = 4

Passo 4

Das duas primeiras equações, somamos para eliminar alpha?
Primeiro, da segunda: -alpha+beta=-1 alpha=beta+1.
Substituindo em alpha+2beta=-1 resulta em
(beta+1)+2beta=-1 Longrightarrow 3beta=-2 Longrightarrow beta=-tfrac23,
e então
alpha=beta+1=-tfrac23+1=tfrac13

Passo 5

Verificamos agora a terceira equação com alpha=tfrac13 e beta=-tfrac23:
3alpha+3beta =3cdottfrac13+3cdotl(-tfrac23r) =1-2=-1neq4
Como não satisfaz, não há (alpha,beta) que resolva todas as equações simultaneamente. Logo vec w não está no span de vec u,vec v.

Resposta

vec w não é combinação linear de vec u e vec v.

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