Seja uma base de E^3. Sendo u=(1,-1,3)E, v=(2,1,3)E e w=(-1,-1,4)E, verifique se w é combinação linear de u e v.
Passo 1
O enunciado dá uma base E=e1,e2,e3 de E^3 e três vetores dados por coordenadas em E: vec u=(1,-1,3)E, vec v=(2,1,3)E e vec w=(-1,-1,4)E.
Queremos ver se existe combinação linear de vec u e vec v que produza vec w, ou seja, se vec winSpanvec u,vec v.
Passo 2
Para testar isso, suponha que existam escalares alpha e beta tais que
alpha,vec u + beta,vec v ;=;vec w
Em coordenadas na base E, isso vira
alpha,(1,-1,3) + beta,(2,1,3) = (-1,-1,4)
Passo 3
Igualando componente a componente, obtemos o sistema
Das duas primeiras equações, somamos para eliminar alpha?
Primeiro, da segunda: -alpha+beta=-1 dá alpha=beta+1.
Substituindo em alpha+2beta=-1 resulta em