Dada f(x)=x^4+2 x^3+6 x^2+8 x+8. calcule:
f(-1+i)

Passo 1

O enunciado pede o valor de f(-1+i) para a função
f(x)=x^4+2x^3+6x^2+8x+8
Esse tipo de exercício exige operações com números complexos: vamos definir
z=-1+i
e calcular sucessivamente z^2, z^3 e z^4 para depois substituir no polinômio.

Passo 2

Calcular z^2 usando a identidade (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 com a=-1 e b=i:
z^2 = (-1+i)^2 = (-1)^2 + 2(-1),i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Passo 3

Calcular z^3 como o produto de z^2 por z:
z^3 = z^2cdot z = (-2i)cdot(-1+i) = 2i - 2i^2 = 2i + 2 = 2 + 2i

Passo 4

Calcular z^4 de duas formas; aqui usamos (z^2)^2:
z^4 = (-2i)^2 = 4,i^2 = -4

Passo 5

Substituir z^4, z^3, z^2 e z em
f(z)=z^4 + 2z^3 + 6z^2 + 8z + 8
Temos
f(-1+i) = (-4) + 2(2+2i) + 6(-2i) + 8(-1+i) + 8
Calculando termo a termo:
(-4) + (4+4i) + (-12i) + (-8+8i) + 8 = l(-4+4-8+8r) + (4i -12i +8i) = 0 + 0i = 0

Resposta

0

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