Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas formada apenas por 0 s ou 1 s . Considere a função Phi: P(N) C definida por
Phi(X)=(varphi1(X), varphi2(X), varphi3(X), ldots, varphin(X), ldots)
em que
varphin(X)=l 1, se n in X 0, se n notin X
(a) Determine:
(b) Phi é injetiva?
(c) Phi é sobrejetiva?
(d) Phi é bijetiva?
(e) Sabendo que C é um conjunto não enumerável, podemos concluir que P(N) é não enumerável?
i. Phi(2,3,6)
ii. Phi(1,3,5,7,9, ldots)
iii. Phi(varnothing)
iv. Phi(N)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto C que é formado por todas as sequências infinitas de 0s e 1s. A função Phi leva subconjuntos de N (os números naturais) para essas sequências em C . Para resolver os itens pedidos, vamos entender como essa função funciona e aplicar isso nos exemplos dados:
  • Conteúdo da matéria: Funções entre conjuntos, injetividade, sobrejetividade, bijetividade e conceitos de conjuntos enumeráveis e não enumeráveis.
  • O que precisamos: Entender como a função Phi transforma um conjunto de números naturais em uma sequência de 0s e 1s.

Passo 2

Vamos analisar como a função Phi funciona. Ela pega um conjunto X subseteq N e transforma em uma sequência onde cada posição n da sequência é 1 se n está no conjunto X , e 0 caso contrário.
Matematicamente, isso é representado por:
Phi(X) = ( varphi1(X), varphi2(X), varphi3(X), ldots )
onde
varphin(X) = 1, & se n in X 0, & se n notin X

Passo 3

Vamos aplicar isso nos exemplos fornecidos:
i. Phi(2,3,6) :
  • O conjunto 2,3,6 contém os números 2, 3 e 6.
  • Então, a sequência será 0 na posição 1 (já que 1 não está no conjunto), 1 na posição 2, 1 na posição 3, 0 na posição 4, 0 na posição 5, 1 na posição 6, e 0 nas posições seguintes.
  • Resultado: (0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, ldots)
ii. Phi(1,3,5,7,9, ldots) :
  • Esse conjunto contém todos os números ímpares.
  • A sequência terá 1 nas posições ímpares e 0 nas pares.
  • Resultado: (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ldots)
iii. Phi(varnothing) :
  • O conjunto vazio não contém nenhum número.
  • Então, todas as posições da sequência serão 0.
  • Resultado: (0, 0, 0, 0, 0, ldots)
iv. Phi(N) :
  • O conjunto de todos os números naturais contém todos os n .
  • Então, todas as posições da sequência serão 1.
  • Resultado: (1, 1, 1, 1, 1, ldots)

Resposta

i. Phi(2,3,6) = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, ldots)
ii. Phi(1,3,5,7,9, ldots) = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ldots)
iii. Phi(varnothing) = (0, 0, 0, 0, 0, ldots)
iv. Phi(N) = (1, 1, 1, 1, 1, ldots)

Exercícios relacionados