Localize os zeros de f(x)=6 x^3+32 x^2+41 x+12 entre inteiros sucessivos.

Passo 1

Resumindo, queremos achar em quais intervalos [n,n+1] com n inteiro a função
f(x)=6x^3+32x^2+41x+12
troca de sinal, pois pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI) cada troca de sinal garante um zero no intervalo.

Passo 2

Calcular f nos pontos inteiros de interesse:
f(-4)=6(-4)^3+32(-4)^2+41(-4)+12 = -384 +512 -164 +12 = -24 <0
f(-3)=6(-3)^3+32(-3)^2+41(-3)+12 = -162 +288 -123 +12 = 15 >0
f(-2)=6(-2)^3+32(-2)^2+41(-2)+12 = -48 +128 -82 +12 = 10 >0
f(-1)=6(-1)^3+32(-1)^2+41(-1)+12 = -6 +32 -41 +12 = -3 <0
f(0)=6cdot0^3+32cdot0^2+41cdot0+12 = 12 >0

Passo 3

Agora verificamos onde há mudança de sinal entre valores consecutivos:
  • Entre -4 e -3: f(-4)<0 e f(-3)>0 Rightarrow há um zero em (-4,-3).
  • Entre -3 e -2: f(-3)>0 e f(-2)>0 Rightarrow sem troca de sinal, sem zero.
  • Entre -2 e -1: f(-2)>0 e f(-1)<0 Rightarrow há um zero em (-2,-1).
  • Entre -1 e 0: f(-1)<0 e f(0)>0 Rightarrow há um zero em (-1,0).

Resposta

Os três zeros reais de f estão localizados nos intervalos
(-4,-3),(-2,-1)e(-1,0)

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