Determine os limites infinitos.
lim x 0 tg(x-x^2)x^3

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto0tan(x - x^2)x^3.
Trata-se de um limite de uma função trigonométrica perto de zero combinada com polinômio em x. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de tan(u) em torno de u=0.

Passo 2

Definindo u = x - x^2, recordamos que
tan(u) = u + tfracu^33 + O(u^5)
Substituindo u = x - x^2, obtemos
tan(x - x^2) = (x - x^2) + tfrac(x - x^2)^33 + O(x^5)

Passo 3

Expandindo (x - x^2)^3 até termos de ordem x^4, temos
(x - x^2)^3 = x^3 - 3x^4 + O(x^5)
Logo,
tan(x - x^2) = x - x^2 + tfracx^3 - 3x^4 + O(x^5)3 + O(x^5) = x - x^2 + tfracx^33 + O(x^4)

Passo 4

Dividindo pelo x^3,
tan(x - x^2)x^3 = x - x^2 + tfracx^33 + O(x^4)x^3 = 1x^2 - 1x + 13 + O(x)

Passo 5

Quando xto0, o termo tfrac1x^2 domina e tende a +infty. Além disso, não há cancelação deste termo e o sinal permanece positivo aproximando-se de zero por ambos os lados. Portanto, o limite diverge para +infty.

Resposta

+infty

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