Determine os limites infinitos.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
.
Trata-se de um limite de uma função trigonométrica perto de zero combinada com polinômio em . Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de
em torno de
.
Trata-se de um limite de uma função trigonométrica perto de zero combinada com polinômio em
Passo 2
Definindo
, recordamos que
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Expandindo
até termos de ordem
, temos
Logo,
Passo 4
Dividindo pelo
,
Passo 5
Quando
, o termo
domina e tende a
. Além disso, não há cancelação deste termo e o sinal permanece positivo aproximando-se de zero por ambos os lados. Portanto, o limite diverge para
.