Para a f(x)\) dada, calcule os limites indicados, se existirem. Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. \(f(x)= \begin{cases}3 x-2 & \text { se } x \geq-1 \\\\ 4-x & \text { se } x<-1\end{cases}
a) \lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow-1} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}3x-2 & \text{se } x\geq -1,\\[4pt] 4-x & \text{se } x<-1,\end{cases}
e pede:
  • (a) \lim_{x\to -1^{+}} f(x);
  • (b) \lim_{x\to -1^{-}} f(x);
  • (c) \lim_{x\to -1} f(x).
Informações relevantes dadas:
  • Para pontos iguais ou à direita de -1 usa-se a expressão \,3x-2.
  • Para pontos à esquerda de -1 usa-se a expressão \,4-x.]

Passo 2

Conceito rápido e prático (sem formalismo pesado): a razão de uma “limite pela direita” \lim_{x\to a^{+}} f(x) é olhar apenas nos valores de x ligeiramente maiores que a e usar a expressão da função que vale para esses x. Analogamente, \lim_{x\to a^{-}} f(x) usa a expressão válida para x ligeiramente menores que a.
Para funções que são polinomiais ou lineares na vizinhança de a, a função é contínua naquela parte e basta substituir x=a na expressão correspondente para obter o limite lateral. Aqui ambas as peças são funções lineares (continua em cada região), então podemos calcular por substituição.

Passo 3

Cálculo de \lim_{x\to -1^{+}} f(x).
Para x>-1 (e também para x=-1, pois a desigualdade na definição inclui -1) a expressão é \,3x-2. Logo substituímos x=-1 nessa expressão:
3(-1)-2 = -3-2 = -5.
Portanto
\lim_{x\to -1^{+}} f(x) = -5.

Passo 4

Cálculo de \lim_{x\to -1^{-}} f(x).
Para x<-1 a expressão é \,4-x. Substituindo x=-1 nesta expressão:
4-(-1)=4+1=5.
Portanto
\lim_{x\to -1^{-}} f(x) = 5.

Passo 5

Agora o limite bilateral \lim_{x\to -1} f(x) existe somente se as duas limites laterais forem iguais:
\lim_{x\to -1^{+}} f(x)\quad\text{e}\quad \lim_{x\to -1^{-}} f(x).
Como se obteve -5 pela direita e 5 pela esquerda, eles são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe.
(Só para completar a intuição: a função tem valor em -1 dado por f(-1)=3(-1)-2=-5; mesmo assim isso não “conserta” o limite bilateral porque a tendência pela esquerda vai para outro valor.)

Resposta

\lim_{x\to -1^{+}} f(x) = -5
\lim_{x\to -1^{-}} f(x) = 5
\lim_{x\to -1} f(x) não existe

Exercícios relacionados