Determine o limite, quando existir:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{3 x^{2}-2 x-5}{-x^{2}+3 x+4}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite (quando existir)
\lim_{x\to 2}\left(\frac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}.
Informações fornecidas:
  • A expressão é a potência de expoente 3 da função racional x\mapsto\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}.
  • O ponto ao qual x se aproxima é x=2.
  • É preciso determinar o valor do limite, se existir.

Passo 2

Estratégia e propriedades que vou usar (explicadas de forma didática):
  • Regra de substituição direta: se f e g têm limite em a e o limite de g em a é diferente de 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}.
  • Potência continua: se \lim_{x\to a}h(x)=L, então para qualquer inteiro positivo n
\lim_{x\to a}\bigl(h(x)\bigr)^{n}=L^{n}.
  • Polinômios são funções contínuas em todo ponto real: isto significa que para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a}p(x)=p(a).
  • Uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} (p com polinômio e q polinômio) é contínua em a desde que q(a)\neq 0. Logo, se o denominador não se anula em a, pode-se obter o limite por substituição direta.
    Essas regras permitem calcular o limite simplesmente avaliando numerador e denominador em x=2, desde que o denominador não seja zero.

Passo 3

Verificar numerador em x=2. Calcular passo a passo:
3x^{2}\Big|_{x=2}=3\cdot(2)^{2}=3\cdot 4=12,
-2x\Big|_{x=2}=-2\cdot 2=-4,
12+(-4)-5=12-4-5=8-5=3.
Portanto o numerador avaliado em x=2 é 3.

Passo 4

Verificar denominador em x=2. Calcular passo a passo:
-x^{2}\Big|_{x=2}=-(2)^{2}=-4,
3x\Big|_{x=2}=3\cdot 2=6,
-4+6+4=2+4=6.
Portanto o denominador avaliado em x=2 é 6.

Passo 5

Como o denominador em x=2 é diferente de zero ( 6\neq 0), a função racional é contínua em x=2 e podemos usar substituição direta:
\lim_{x\to 2}\frac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}=\frac{3}{6}.
Calcule a fração:
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora aplicamos a propriedade da potência contínua (expoente 3):
\lim_{x\to 2}\left(\frac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\left(\lim_{x\to 2}\frac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}

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