Determine o limite, quando existir:
\lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{x^{3}-3 x^{2}-2 x-5}{2 x^{2}-9 x+2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 4}\left(\frac{x^{3}-3x^{2}-2x-5}{2x^{2}-9x+2}\right)^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma função composta: primeiro a razão racional \dfrac{x^{3}-3x^{2}-2x-5}{2x^{2}-9x+2}, depois elevamos essa razão ao quadrado.
  • Queremos o comportamento dessa expressão quando x se aproxima de 4.

Passo 2

Estratégia e justificativa (como fazer na prova):
  • Uma razão de polinômios (uma função racional) é contínua em todos os pontos em que o denominador é diferente de zero. A operação de elevar ao quadrado é também contínua.
  • Portanto, se ao substituir x=4 o denominador for diferente de zero, podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=4 diretamente (limite pela continuidade).
  • Se o denominador fosse zero ao substituir, teríamos uma indeterminação e precisaríamos fatorar ou usar outro método. Aqui vamos checar o denominador em x=4.

Passo 3

Calcular o numerador em x=4. Vou substituir passo a passo:
x^{3}-3x^{2}-2x-5 \quad\text{com}\quad x=4.
4^{3}-3\cdot4^{2}-2\cdot4-5 = 64 - 3\cdot16 - 8 - 5.
64 - 48 - 8 - 5 = 16 - 8 - 5 = 8 - 5 = 3.
Logo o numerador vale \,3 quando x=4.

Passo 4

Calcular o denominador em x=4. Substituindo passo a passo:
2x^{2}-9x+2 \quad\text{com}\quad x=4.
2\cdot4^{2}-9\cdot4+2 = 2\cdot16 - 36 + 2.
32 - 36 + 2 = -4 + 2 = -2.
Portanto o denominador vale -2 quando x=4. Observe que o denominador é diferente de zero, então não há indeterminação.

Passo 5

Como o denominador em x=4 é diferente de zero, pela continuidade da função racional e da função quadrado, o limite é o quadrado da razão avaliada em x=4. Então:
\left(\frac{x^{3}-3x^{2}-2x-5}{2x^{2}-9x+2}\right)^{2}\Bigg|_{x=4} = \left(\frac{3}{-2}\right)^{2}.
Calcule o quadrado:
\left(\frac{3}{-2}\right)^{2} = \frac{3^{2}}{(-2)^{2}} = \frac{9}{4}.

Resposta

\frac{9}{4}

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