Determine o limite, quando existir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma função composta: primeiro a razão racional
, depois elevamos essa razão ao quadrado. - Queremos o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de .
Passo 2
Estratégia e justificativa (como fazer na prova):
- Uma razão de polinômios (uma função racional) é contínua em todos os pontos em que o denominador é diferente de zero. A operação de elevar ao quadrado é também contínua.
- Portanto, se ao substituir
o denominador for diferente de zero, podemos calcular o limite simplesmente substituindo diretamente (limite pela continuidade). - Se o denominador fosse zero ao substituir, teríamos uma indeterminação e precisaríamos fatorar ou usar outro método. Aqui vamos checar o denominador em
.
Passo 3
Calcular o numerador em
. Vou substituir passo a passo:
Logo o numerador vale
quando
.
Passo 4
Calcular o denominador em
. Substituindo passo a passo:
Portanto o denominador vale
quando
. Observe que o denominador é diferente de zero, então não há indeterminação.
Passo 5
Como o denominador em
é diferente de zero, pela continuidade da função racional e da função quadrado, o limite é o quadrado da razão avaliada em
. Então:
Calcule o quadrado: