Para a f(x)\) dada, calcule os limites indicados, se existirem. Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. \(f(x)= \begin{cases}2 x-5 & \text { se } x \geq 3 \\\\ 4-5 x & \text { se } x<3\end{cases}
a) \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 3} f(x)

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases}2x-5 & \text{se } x\ge 3,\\[4pt] 4-5x & \text{se } x<3.\end{cases}
As perguntas são:
a) Calcular \lim_{x\to 3^{+}} f(x).
b) Calcular \lim_{x\to 3^{-}} f(x).
c) Calcular \lim_{x\to 3} f(x) (o limite bilateral), ou, se não existir, explicar o motivo.]

Passo 2

O que significa cada limite e como vamos proceder (de forma didática):
  • \lim_{x\to 3^{+}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 3 por valores maiores que 3 (pela direita). Para isso usamos a expressão que vale para x próximos de 3 com x>3.
  • \lim_{x\to 3^{-}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 3 por valores menores que 3 (pela esquerda). Para isso usamos a expressão válida para x<3.
  • Regra prática útil: polinômios e funções lineares (como 2x-5 e 4-5x) são contínuos onde são definidas, então o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da expressão naquele ponto (substituição direta), desde que esse seja o ramo correto para a direção considerada.
    Portanto, para cada limite lateral basta escolher o ramo correspondente e avaliar a expressão quando x se aproxima de 3.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to 3^{+}} f(x).
  • Para x>3 (e também para x=3) a função é dada por 2x-5 (o enunciado diz 2x-5 se x\ge 3). Ao aproximar x de 3 pela direita usamos essa expressão e substituímos x=3:
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=\lim_{x\to 3^{+}} (2x-5)=2\cdot 3-5=6-5=1.
Logo \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to 3^{-}} f(x).
  • Para x<3 a função é dada por 4-5x. Aproximando x por valores menores que 3 e substituindo x=3 na expressão obtém-se:
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=\lim_{x\to 3^{-}} (4-5x)=4-5\cdot 3=4-15=-11.
Logo \lim_{x\to 3^{-}} f(x)=-11.

Passo 5

Existência do limite bilateral \lim_{x\to 3} f(x).
  • Uma condição necessária e suficiente para que \lim_{x\to 3} f(x) exista é que os dois limites laterais sejam iguais:
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)\stackrel{?}{=}\lim_{x\to 3^{+}} f(x).
  • Aqui encontramos \lim_{x\to 3^{-}} f(x)=-11 e \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=1. Como -11\neq 1, os limites laterais são diferentes, portanto o limite bilateral não existe.
  • Observação adicional (útil na prova): o valor da função em x=3 é f(3)=2\cdot 3-5=1, mas isso não altera o fato de que há uma descontinuidade tipo salto em x=3 porque os limites laterais são diferentes.

Resposta

\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=1
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=-11
\lim_{x\to 3} f(x) não existe (porque \lim_{x\to 3^{-}} f(x)=-11 \neq \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=1)

Exercícios relacionados