Dada uma calota esférica D de raio r e altura h. Utilizando integrais triplas, determine o volume de D em função de r e $h.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma calota esférica D de raio r e altura h. O que vamos usar é o cálculo de volume por integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Precisamos da equação da esfera
x^2 + y^2 + z^2 <= r^2
e da condição que define a calota:
z >= r - h

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, temos
x = ucostheta, y = usintheta, z = z,
com o elemento de volume
dV = u,du,dtheta,dz
A região D então é descrita por
0 <= theta <= 2pi, 0 <= u <= raizr^2 - z^2, r - h <= z <= r
Logo
V = integraltheta=0^2pi integralz=r-h^r integralu=0^raizr^2 - z^2 u,du,dz,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em u e theta:
integral0^2pi!dtheta integral0^raizr^2 - z^2!u,du = 2pi cdot l(raizr^2 - z^2r)^22 = pi,(r^2 - z^2)
Assim
V = integralz=r-h^r pi,(r^2 - z^2),dz

Passo 4

Integramos em z:
integral (r^2 - z^2),dz = r^2 z - z^33
Logo
V = pil[r^2 z - tfracz^33r]z=r-h^z=r

Passo 5

Avaliaremos em z=r e z=r-h:
em z=r:
r^2cdot r - r^33 = 23,r^3,
em z=r-h:
r^2(r - h) - (r-h)^33 = 23,r^3 ;-; r,h^2 ;+; h^33
A diferença é
23r^3 - l(23r^3 - r,h^2 + tfrach^33r) = r,h^2 - h^33 = h^2(3r - h)3
Multiplicando por pi obtém-se a fórmula final.

Resposta

V = pi,h^2,(3r - h)3

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