Dada uma calota esférica
de raio
e altura
. Utilizando integrais triplas, determine o volume de
em função de
e $h.
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma calota esférica
de raio
e altura
. O que vamos usar é o cálculo de volume por integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Precisamos da equação da esfera
e da condição que define a calota:
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, temos
com o elemento de volume
A região
então é descrita por
Logo
Passo 3
Primeiro integramos em
e
:
Assim
Passo 4
Integramos em
:
Logo
Passo 5
Avaliaremos em
e
:
em :
em
em
:
A diferença é
Multiplicando por
obtém-se a fórmula final.