Encontre todos os valores de a com os quais as curvas y= a /(x-1) e y=x^2-2 x+1 se intersectam em ângulo reto.

Passo 1

O enunciado pede os valores de a tais que as curvas
y = ax-1
e
y = x^2 - 2x + 1
se intersectam em ângulo reto. O conteúdo aqui é de derivadas de funções e condição de ortogonalidade entre tangentes: em um ponto de interseção, os produtos dos declives deve ser -1.

Passo 2

Para achar a abscissa x dos pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
ax-1 ;=; (x-1)^2
Fazendo t = x-1, isso vira
at = t^2 Longrightarrow t^3 = a
Logo
t = raiz[,3]a e x = 1 + raiz[,3]a

Passo 3

Agora calculamos os declives (derivadas) em x:
f1(x) = ax-1 Longrightarrow f1'(x) = -,a(x-1)^2 = -,at^2,
f2(x) = x^2-2x+1 Longrightarrow f2'(x) = 2x-2 = 2(x-1) = 2t

Passo 4

Para que as tangentes sejam perpendiculares, exige-se
f1'(x)cdot f2'(x) = -1
Substituindo,
l(-at^2r),(2t) = -1 Longrightarrow -,2at = -1 Longrightarrow at = 12

Passo 5

Como t = raiz[,3]a, temos
araiz[,3]a = 12 Longrightarrow a^2/3 = tfrac12 Longrightarrow |a| = l(tfrac12r)^3/2 = 12raiz2
Portanto
a = pm 12raiz2

Resposta

a = pm 12raiz2

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