Dada A=[cccc-3 & 0 & a^2-1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 5 & 3 & -1 & 2 a+2 & -1 & 0 & 0]
(a) Determine todos os valores de a in R para que det A=0.
(b) Escolha um desses valores de a e, para este valor escolhido, dê exemplos de matrizes colunas B1 e B2(4 times 1) tais que A X=B1 tenha solução e A X=B2 não tenha.

Passo 1

Beleza, o exercício tem duas partes:
(a) A gente tem a matriz
A= -3 & 0 & a^2-1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 5 & 3 & -1 & 2 a+2 & -1 & 0 & 0
e precisa achar todos os ain R tais que det A=0. Isso é teoria de determinante de matriz 4×4, vamos usar expansão por cofatores e fatoração.
(b) Depois, com um desses valores de a, mostrar um vetor-coluna B1 tal que AX=B1 tenha solução e outro B2 tal que não tenha. Aqui entra o conceito de posto (rank) e espaço coluna: AX=b é solucionável se, e só se, b estiver no span das colunas de A.

Passo 2

Vamos calcular det A expandindo pela coluna 4, que só tem o não-zero 2 na linha 3.
Por cofator:
det A =;(-1)^3+4cdot2;det -3 & 0 & a^2-1 0 & 2 & 0 a+2 & -1 & 0 =-2;det M,
onde
M= -3 & 0 & a^2-1 0 & 2 & 0 a+2 & -1 & 0
Agora det M expandindo pela segunda linha ( 0,2,0):
det M =2cdot(-1)^2+2,det-3 & a^2-1 a+2 & 0 =2l(-3cdot0-(a+2)(a^2-1)r) =-2,(a+2)(a^2-1)
Logo
det A =-2cdotl[-2,(a+2)(a^2-1)r] =4,(a+2)(a^2-1)

Passo 3

Fatorando a^2-1=(a-1)(a+1), temos
det A=4,(a+2)(a-1)(a+1)
Para det A=0, basta
a+2=0, a-1=0,ou a+1=0 ;Longrightarrow; ain-2,;1,;-1

Passo 4

Vamos escolher a=1. Aí
Al|a=1 = -3 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 5 & 3 & -1 & 2 3 & -1 & 0 & 0
Repare que a coluna 4 = (0,0,2,0)^T é múltiplo da coluna 3 = (0,0,-1,0)^T, então o posto de A cai para 3.
Teoria-chave: o sistema AX=b tem solução se, e só se, b estiver no espaço coluna de A, que aqui é um subespaço de dimensão 3 em R^4.

Passo 5

  1. Para dar um B1 que funcione, basta pegar uma das colunas de A. Por exemplo, a coluna 3:
B1=00-10
De fato, A,(0,0,1,0)^T=B1, então existe solução.
  1. Para B2 sem solução, basta escolher um vetor fora do span das colunas. Por exemplo
B2=1000
Se tentássemos
alpha,-3053+ beta,023-1+ gamma,00-10 =(1,0,0,0)^T,
veríamos contradição na última linha. Logo não tem solução.

Resposta

(a) det A=0 para a=-2,,-1 ou 1.
(b) Por exemplo, escolhendo a=1:
  • B1=(0,0,-1,0)^T faz AX=B1 ter solução (basta X=(0,0,1,0)^T).
  • B2=(1,0,0,0)^T faz AX=B2 não ter solução (porque não está no espaço coluna de A).

Exercícios relacionados