Seja f(x)=x^2+3 xx^2-x-12. Encontre as assintotas verticais e horizontais de f, caso existam.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) = x^2 + 3xx^2 - x - 12 . Isso envolve entender um pouco de análise de funções racionais e como identificar essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, para encontrar as assíntotas verticais, a gente precisa achar os valores de x que fazem o denominador zerar, já que nesses pontos a função tende ao infinito. Então, vamos resolver a equação do denominador:
x^2 - x - 12 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática x^2 - x - 12 = 0 , podemos fatorá-la:
(x - 4)(x + 3) = 0
Isso nos dá duas soluções: x = 4 e x = -3 .

Passo 4

Então, as assíntotas verticais estão nos pontos x = 4 e x = -3 , pois nesses valores a função não está definida e tende ao infinito.

Passo 5

Agora, para encontrar as assíntotas horizontais, observamos o comportamento da função para valores muito grandes de x (tanto positivos quanto negativos). Com funções racionais, a gente compara os graus do polinômio do numerador e do denominador.
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2.

Passo 6

Quando o grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No numerador, o coeficiente de x^2 é 1, e no denominador também é 1.
Então, a assíntota horizontal será y = 11 = 1 .

Resposta

As assíntotas verticais de f(x) são x = 4 e x = -3 , e a assíntota horizontal é y = 1 .

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