Seja
. Encontre as assintotas verticais e horizontais de
, caso existam.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Isso envolve entender um pouco de análise de funções racionais e como identificar essas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, para encontrar as assíntotas verticais, a gente precisa achar os valores de
que fazem o denominador zerar, já que nesses pontos a função tende ao infinito. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, podemos fatorá-la:
Isso nos dá duas soluções:
e
.
Passo 4
Então, as assíntotas verticais estão nos pontos
e
, pois nesses valores a função não está definida e tende ao infinito.
Passo 5
Agora, para encontrar as assíntotas horizontais, observamos o comportamento da função para valores muito grandes de
(tanto positivos quanto negativos). Com funções racionais, a gente compara os graus do polinômio do numerador e do denominador.
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2.
Passo 6
Quando o grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No numerador, o coeficiente de
é 1, e no denominador também é 1.
Então, a assíntota horizontal será
.
Resposta
As assíntotas verticais de
são
e
, e a assíntota horizontal é
.